Иррациональные числа: что это такое и для чего они используются?

Что такое иррациональные числа? Почему они так называются? Где они используются и что собой представляют? Немногие могут без раздумий ответить на эти вопросы. Но на самом деле ответы на них довольно просты, хоть нужны не всем и в очень редких ситуациях

Сущность и обозначение

Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби. Необходимость введения этой концепции обусловлена тем, что для решения новых возникающих задач уже было недостаточно ранее имеющихся понятий действительных или вещественных, целых, натуральных и рациональных чисел. Например, для того, чтобы вычислить, квадратом какой величины является 2, необходимо использовать непериодические бесконечные десятичные дроби. Кроме того, многие простейшие уравнения также не имеют решения без введения концепции иррационального числа.

Это множество обозначается как I. И, как уже ясно, эти значения не могут быть представлены в виде простой дроби, в числителе которой будет целое, а в знаменателе - натуральное число.

Впервые так или иначе с этим явлением столкнулись индийские математики в VII веке до нашей эры, когда было обнаружено, что квадратные корни из некоторых величин не могут быть обозначены явно. А первое доказательство существования подобных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу, который сделал это в процессе изучения равнобедренного прямоугольного треугольника. Серьезный вклад в изучение этого множества привнесли еще некоторые ученые, жившие до нашей эры. Введение концепции иррациональных чисел повлекло за собой пересмотр существовавшей математической системы, вот почему они так важны.

Происхождение названия

Если ratio в переводе с латыни - это "дробь", "отношение", то приставка "ир"
придает этому слову противоположное значение. Таким образом, название множества этих чисел говорит о том, что они не могут быть соотнесены с целым или дробным, имеют отдельное место. Это и вытекает из их сущности.

Место в общей классификации

Иррациональные числа наряду с рациональными относится к группе вещественных или действительных, которые в свою очередь относятся к комплексным. Подмножеств нет, однако различают алгебраическую и трансцендентную разновидность, о которых речь пойдет ниже.

Свойства

Поскольку иррациональные числа - это часть множества действительных, то к ним применимы все их свойства, которые изучаются в арифметике (их также называют основными алгебраическими законами).

a + b = b + a (коммутативность);

(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (существование противоположного числа);

ab = ba (переместительный закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивность);

a(b+c) = ab + ac (распределительный закон);

a x 1 = a

a x 1/a = 1 (существование обратного числа);

Сравнение также проводится в соответствии с общими закономерностями и принципами:

Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность соотношения) и. т. д.

Разумеется, все иррациональные числа могут быть преобразованы с помощью основных арифметических действий. Никаких особых правил при этом нет.

Кроме того, на иррациональные числа распространяется действие аксиомы Архимеда. Она гласит, что для любых двух величин a и b справедливо утверждение, что, взяв a в качестве слагаемого достаточное количество раз, можно превзойти b.

Использование

Несмотря на то что в обычной жизни не так уж часто приходится сталкиваться с ними, иррациональные числа не поддаются счету. Их огромное множество, но они практически незаметны. Нас повсюду окружают иррациональные числа. Примеры, знакомые всем, - это число пи, равное 3,1415926..., или e, по сути являющееся основанием натурального логарифма, 2,718281828... В алгебре, тригонометрии и геометрии использовать их приходится постоянно. Кстати, знаменитое значение "золотого сечения", то есть отношение как большей части к меньшей, так и наоборот, также

относится к этому множеству. Менее известное "серебряное" - тоже.

На числовой прямой они расположены очень плотно, так что между любыми двумя величинами, отнесенными к множеству рациональных, обязательно встречается иррациональная.

До сих пор существует масса нерешенных проблем, связанных с этим множеством. Существуют такие критерии, как мера иррациональности и нормальность числа. Математики продолжают исследовать наиболее значительные примеры на предмет принадлежности их к той или иной группе. Например, считается, что е - нормальное число, т. е. вероятность появления в его записи разных цифр одинакова. Что же касается пи, то относительно его пока ведутся исследования. Мерой иррациональности же называют величину, показывающую, насколько хорошо то или иное число может быть приближено рациональными числами.

Алгебраические и трансцендентные

Как уже было упомянуто, иррациональные числа условно разделяются на алгебраические и трансцендентные. Условно, поскольку, строго говоря, эта классификация используется для деления множества C.

Под этим обозначением скрываются комплексные числа, которые включают в себя действительные или вещественные.

Итак, алгебраическим называют такое значение, которое является корнем многочлена, не равного тождественно нулю. Например, квадратный корень из 2 будет относиться к этой категории, поскольку он является решением уравнения x² - 2 = 0.

Все же остальные вещественные числа, не удовлетворяющие этому условию, называются трансцендентными. К этой разновидности относятся и наиболее известные и уже упомянутые примеры - число пи и основание натурального логарифма e.

Что интересно, ни одно, ни второе не были изначально выведены математиками в этом качестве, их иррациональность и трансцендентность были доказаны через много лет после их открытия. Для пи доказательство было приведено в 1882 году и упрощено в 1894, что положило конец спорам о проблеме квадратуры круга, которые длились на протяжении 2,5 тысяч лет. Оно до сих пор до конца не изучено, так что современным математикам есть над чем работать. Кстати, первое достаточно точное вычисление этого значения провел Архимед. До него все расчеты были слишком приблизительными.

Для е (числа Эйлера или Непера), доказательство его трансцендентности было найдено в 1873 году. Оно используется в решении логарифмических уравнений.

Среди других примеров - значения синуса, косинуса и тангенса для любых алгебраических ненулевых значений.