Круги Эйлера: примеры и возможности

Подписаться Редактировать статью

Математика по своей сути наука абстрактная, если отойти от элементарных понятий. Так, на паре-тройке яблок можно наглядно изобразить основные операции, что лежат в основе математики, но, как только плоскость деятельности расширяется, этих объектов становится недостаточно. Кто-нибудь пробовал изобразить на яблоках операции над бесконечными множествами? В том-то и дело, что нет. Чем сложнее становились понятия, которыми оперирует математика в своих суждениях, тем проблематичнее казалось их наглядное выражение, которое было бы призвано облегчить понимание. Однако, на счастье как современных студентов, так и науки в целом, были выведены круги Эйлера, примеры и возможности которых мы рассмотрим ниже.

Немного истории

17 апреля 1707 года мир подарил науке Леонарда Эйлера - замечательного ученого, чей вклад в математику, физику, кораблестроение и даже теорию музыки не переоценить.круги эйлера примеры Труды его признаны и востребованы по сей день во всем мире, несмотря на то что наука не стоит на месте. Особо занимательным является тот факт, что господин Эйлер принял непосредственное участие в становлении российской школы высшей математики, тем более что волею судеб он дважды возвращался в наше государство. Ученый обладал уникальной способностью выстраивать прозрачные в своей логике алгоритмы, отсекая все лишнее и в кратчайшие сроки переходя от общего к частному. Не станем перечислять все его заслуги, так как это займет немалое количество времени, и обратимся непосредственно к теме статьи. Именно он предложил использовать графическое изображение операций над множествами. Круги Эйлера решение любой, даже самой сложно составленной задачи, способны изобразить наглядно.

В чем же суть?

На практике круги Эйлера, схема которых изображена ниже, могут применяться не только в математике, так как понятия "множества" присущи не только данной дисциплине. Так, они с успехом применяются и в менеджменте.круги эйлера схема

Схема выше показывает отношения множеств А (иррациональные числа), В (рациональные числа) и С (натуральные числа). Круги показывают, что множество С включено в множество В, тогда как множество А с ними никак не пересекается. Пример простейший, но наглядно объясняет специфику "взаимоотношений множеств", которые слишком абстрактны для реального сравнения хотя бы в силу их бесконечности.

Алгебра логики

Данная область математической логики оперирует высказываниями, которые могут носить как истинный, так и ложный характер. Например, из элементарного: число 625 делится нацело на 25, число 625 делится нацело на 5, число 625 является простым. Первое и второе утверждения – истина, тогда как последнее – ложь. Конечно, на практике все сложнее, но суть показана ясно. И, конечно же, в решении опять участвуют круги Эйлера, примеры с их использованием слишком удобны и наглядны, чтобы их игнорировать.

Немного теории:

  • Пусть множества А и В существуют и не являются пустыми, тогда для них определены следующие операции пересечения, объединения и отрицания.
  • Пересечение множеств А и В состоит из элементов, что принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В.
  • Объединение множеств А и В состоит из элементов, что принадлежат множеству А или множеству В.
  • Отрицание множества А - это множество, что состоит из элементов, которые не принадлежат множеству А.круги эйлера в логике

Все это изображают опять же круги Эйлера в логике, так как с их помощью каждая задача, вне зависимости от степени сложности, становится очевидной и наглядной.

Аксиомы алгебры логики

Положим, что 1 и 0 существуют и определены во множестве А, тогда:

  • отрицание отрицания множества А есть множество А;
  • объединение множества А с не_А есть 1;
  • объединение множества А с 1 есть 1;
  • объединение множества А с самим собой есть множество А;
  • объединение множества А с 0 есть множество А;
  • пересечение множества А с не_А есть 0;
  • пересечение множества А с самим собой есть множество А;
  • пересечение множества А с 0 есть 0;
  • пересечение множества А с 1 есть множество А.

Основные свойства алгебры логики

Пусть множества А и В существуют и не являются пустыми, тогда:

  • для пересечения и объединения множеств А и В действует переместительный закон;
  • для пересечения и объединения множеств А и В действует сочетательный закон;
  • для пересечения и объединения множеств А и В действует распределительный закон;
  • отрицание пересечения множеств А и В есть пересечение отрицаний множеств А и В;
  • отрицание объединения множеств А и В есть объединение отрицаний множеств А и В.

Ниже показаны круги Эйлера, примеры пересечения и объединения множеств А, В и С.

круги эйлера решение

Перспективы

Работы Леонарда Эйлера обоснованно считаются базой современной математики, однако сейчас их с успехом применяют в областях человеческой деятельности, что появились относительно недавно, взять хотя бы корпоративное управление: круги Эйлера, примеры и графики описывают механизмы моделей развития, будь то российская или англо-американская версия.