Парадокс Рассела представляет две взаимозависимые логические антиномии.
Две формы парадокса Рассела
Наиболее часто обсуждаемой формой является противоречие в логике множеств. Одни множества, кажется, могут быть членами самих себя, а другие – нет. Множество всех множеств само является множеством, поэтому кажется, что оно относится к самому себе. Нулевое или пустое, однако, не должно быть членом самого себя. Поэтому множество всех множеств, как и нулевое, не входит само в себя. Парадокс возникает при вопросе о том, является ли множество членом самого себя. Это возможно тогда и только тогда, когда это не так.
Другая форма парадокса представляет собой противоречие, касающееся свойств. Некоторые свойства, кажется, относятся к себе, в то время как другие нет. Свойство быть свойством само по себе является свойством, в то время как свойство быть кошкой ею не является. Рассмотрим свойство иметь свойство, которое не относится к себе. Применимо ли оно к самому себе? Опять же, из любого предположения следует противоположное. Парадокс был назван в честь Бертрана Рассела (1872–1970), который открыл его в 1901 году.
История
Открытие Рассела произошло во время его работы над «Принципами математики». Хотя он обнаружил парадокс самостоятельно, есть доказательства того, что другие математики и разработчики теории множеств, включая Эрнста Цермело и Давида Гильберта, знали о первой версии противоречия раньше него. Рассел, однако, был первым, кто подробно обсудил парадокс в своих опубликованных работах, первым попытался сформулировать решения и первым в полной мере оценил его значимость. Целая глава «Принципов» была посвящена обсуждению этого вопроса, а приложение было посвящено теории типов, которую Рассел предложил в качестве решения.
Рассел обнаружил «парадокс лжеца», рассматривая теорему множеств Кантора, гласящую о том, что мощность любого множества меньше, чем множества его подмножеств. По крайней мере, в домене должно быть столько же подмножеств, сколько в нем есть элементов, если для каждого элемента одно подмножество будет множеством, содержащим только этот элемент. Кроме того, Кантор доказал, что число элементов не может быть равным числу подмножеств. Если бы их было одинаковое количество, то должна была бы существовать функция ƒ, которая бы отображала элементы на их подмножества. В то же время можно доказать, что это невозможно. Некоторые элементы могут отображаться функцией ƒ на подмножества, которые содержат их, тогда как другие не могут.
Рассмотрим подмножество элементов, не принадлежащих своим образам, в которые их отображает ƒ. Оно само по себе является подмножеством элементов, и, следовательно, функция ƒ должна была бы отобразить его на некоторый элемент в домене. Проблема заключается в том, что тогда возникает вопрос о том, принадлежит ли этот элемент подмножеству, на которое его отображает ƒ. Это возможно только в том случае, если он не принадлежит. Парадокс Рассела можно рассматривать как пример такой же линии рассуждений, только упрощенный. Чего больше – множеств или подмножеств множеств? Казалось бы, что должно быть больше множеств, так как все подмножества множеств сами являются множествами. Но если теорема Кантора верна, то должно существовать больше подмножеств. Рассел рассматривал простейшее отображение множеств на самих себя и применил канторианский подход рассмотрения множества всех этих элементов, не входящих во множества, в которые они отображаются. Отображение Рассела становится множеством всех множеств, в себя не входящих.
Ошибка Фреге
«Парадокс лжеца» имел глубокие последствия для исторического развития теории множеств. Он показал, что понятие универсального множества является крайне проблематичным. Он также подверг сомнению понятие о том, что для каждого определяемого условия или предиката можно предположить существование множества только тех вещей, которые удовлетворяют этому условию. Вариант парадокса, касающийся свойств – естественное продолжение версии со множествами – вызвал серьезные сомнения по поводу того, можно ли утверждать об объективном существовании свойства или универсального соответствия каждому определяемому условию или предикату.
Вскоре были найдены противоречия и проблемы в работах тех логиков, философов и математиков, которые делали подобные предположения. В 1902 году Рассел обнаружил, что вариант парадокса можно выразить в логической системе, разработанной в I томе Готтлоба Фреге «Основания арифметики», одной из главных работ по логике конца XIX – начала XX века. В философии Фреге множество понимается как «расширение» или «значение-диапазон» понятия. Понятия являются ближайшими коррелятами к свойствам. Предполагается, что они существуют для каждого заданного состояния или предиката. Таким образом, существует понятие множества, которое не подпадает под его определяющее понятие. Существует также класс, определяемый этим понятием, и он подпадает под определяющее его понятие только в случае, если это не так.
Рассел написал Фреге об этом противоречии в июне 1902 г. Переписка стала одной из самых интересных и обсуждаемых в истории логики. Фреге немедленно признал катастрофические последствия парадокса. Он отметил, однако, что версия противоречия, касающаяся свойств, в его философии была разрешена путем различения уровней понятий.
Фреге понятия понимал как функции перехода от аргументов к значениям истинности. Понятия первого уровня принимают в качестве аргументов объекты, понятия второго уровня принимают в качестве аргументов эти функции и так далее. Таким образом, понятие никогда не может взять себя в качестве аргумента, а парадокс в отношении свойств не может быть сформулирован. Тем не менее множества, расширения или понятия понимались Фреге как относящиеся к тому же логическому типу, что и все остальные объекты. Тогда для каждого множества возникает вопрос, подпадает ли оно под определяющее его понятие.
Когда Фреге получил первое письмо Рассела, второй том «Оснований арифметики» уже заканчивал печататься. Он был вынужден быстро подготовить приложение, дающее ответ на парадокс Рассела. Примеры Фреге содержали ряд возможных решений. Но он пришел к заключению, ослабившему понятие абстракции множества в логической системе.
В оригинале можно было прийти к выводу, что объект принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он подпадает под понятие, его определяющее. В пересмотренной системе можно лишь заключить, что объект принадлежит множеству тогда и только тогда, когда он подпадает под понятие определяющего множества, а не множества, о котором идет речь. Парадокс Рассела не возникает.
Решение, однако, не совсем удовлетворило Фреге. И этому была причина. Несколько лет спустя для пересмотренной системы была найдена более сложная форма противоречия. Но еще до того, как это произошло, Фреге отказался от своего решения и, кажется, пришел к выводу, что его подход был просто неработоспособен, и что логикам придется обойтись вообще без множеств.
Тем не менее были предложены иные, относительно более успешные альтернативные решения. Они обсуждаются ниже.
Теория типов
Выше было отмечено, что у Фреге был адекватный ответ на парадоксы теории множеств в варианте, сформулированном для свойств. Ответ Фреге предшествовал наиболее часто обсуждаемому решению этой формы парадокса. Оно основано на том, что свойства подпадают под различные типы и что тип свойства никогда не бывает таким же, как элементы, к которым он относится.
Таким образом, даже не возникает вопрос, применимо ли свойство к самому себе. Логический язык, который разделяет элементы по такой иерархии, использует теорию типов. Хотя она уже используется у Фреге, впервые ее полностью разъяснил и обосновал Рассел в Приложении к «Принципам». Теория типов была более полной, чем различение уровней Фреге. Она разделяла свойства не только на различные логические типы, но также и множества. Теория типов разрешила противоречие в парадоксе Рассела следующим образом.
Для того чтобы быть философски адекватным, принятие теории типов для свойств требует разработки теории о характере свойств таким образом, чтобы можно было объяснить, почему они не могут применяться сами к себе. На первый взгляд имеет смысл предицировать свое собственное свойство. Свойство быть самотождественным, казалось бы, также является самотождественным. Свойство быть приятным кажется приятным. Точно так же, по-видимому, кажется ложным говорить о том, что свойство быть кошкой является кошкой.
Тем не менее различные мыслители обосновывали деление типов по-разному. Рассел даже давал разные пояснения в разное время своей карьеры. Со своей стороны, обоснование разделения Фреге различных уровней понятий исходит из его теории ненасыщенности понятий. Понятия, как функции, по существу, являются неполными. Чтобы предоставить значение, им нужен аргумент. Нельзя просто предицировать одно понятие понятием того же типа, поскольку оно все еще требует своего аргумента. Например, хотя еще возможно извлечь квадратный корень из квадратного корня некоторого числа, невозможно просто применять функцию квадратного корня к функции квадратного корня и получить результат.
О консерватизме свойств
Другим возможным решением парадокса свойств является отрицание существования свойства в соответствии с любыми заданными условиями или хорошо сформированным предикатом. Конечно, если кто-то сторонится метафизических свойств как объективных и независимых элементов в целом, то, если принять номинализм, парадокса можно полностью избежать.
Однако для решения антиномии не нужно быть столь экстремальным. Логические системы высшего порядка, разработанные Фреге и Расселом, содержали, что называется, понятийный принцип, согласно которому для каждой открытой формулы, независимо от того, насколько она сложна, существует как элемент свойство или понятие на примере только тех вещей, которые удовлетворяют формуле. Они применялись к атрибутам любого возможного набора условий или предикатов, независимо от того, насколько они были сложными.
Тем не менее можно было бы принять более строгую метафизику свойств, предоставляя право объективного существования простым свойствам, включая, например, такие как красный цвет, твердость, доброта и т. д. Можно даже позволить этим свойствам применяться к самим себе, например, доброта может быть доброй.
А тот же статус для сложных атрибутов можно отрицать, например, для таких «свойств», как иметь-семнадцать-голов, быть-написанным-под-водой и т. д. В этом случае никакое заданное условие не соответствует свойству, понимаемому как отдельно существующий элемент, который обладает своими собственными свойствами. Таким образом можно отрицать существование простого свойства быть-свойством-которое-не-применимо-к-себе и избежать парадокса путем применения более консервативной метафизики свойств.
Парадокс Рассела: решение
Выше было отмечено, что в конце своей жизни Фреге полностью отказался от логики множеств. Это, конечно, одно решение антиномии в форме множеств: простое отрицание существования таких элементов в целом. Помимо этого, есть и другие популярные решения, основные сведения о которых представлены ниже.
Теория типов для множеств
Как упоминалось ранее, Рассел выступал за более полную теорию типов, которая бы разделяла не только свойства или понятия на различные типы, но также и множества. Рассел делил множества на множества отдельных объектов, множества множеств отдельных объектов и т. д. Множества не считались объектами, а множества множеств – множествами. Множество никогда не обладало типом, позволяющим иметь в качестве члена самого себя. Поэтому нет множества всех множеств, не являющихся собственными членами, потому что для любого множества вопрос о том, является ли оно своим членом, сам по себе является нарушением типа. Опять же, проблема здесь заключается в разъяснении метафизики множеств для того, чтобы объяснить философские основания деления на типы.
Стратификация
В 1937 году В. В. Куайн предложил альтернативное решение, в некотором роде похожее на теорию типов. Основные сведения о нем таковы.
Разделение элементом, множеств и др. производится таким образом, что предположение о нахождении множества в себе всегда является неправильным или бессмысленным. Множества могут существовать только при условии, когда определяющие их условия не являются нарушением типов. Таким образом, для Куайна выражение «х не является членом х» является значимым утверждением, не предполагающим существования множества всех элементов х, удовлетворяющих этому условию.
В данной системе множество существует для некоторой открытой формулы А тогда и только тогда, когда она стратифицирована, т. е. если переменным присвоены натуральные числа таким образом, что для каждого признака вхождения во множество предшествующей ему переменной присваивается назначение на единицу меньше, чем переменной, следующей после него. Это блокирует парадокс Рассела, поскольку в формуле, используемой для определения проблемного множества, имеется одна и та же переменная до и после знака членства, что делает его нестратифицированным.
Однако еще предстоит определить, является ли результирующая система, которую Куайн называл «Новые основания математической логики», непротиворечивой.
Отсортировка
Совершенно иной подход принят в теории множеств Цермело - Френкеля (ЦФ). Здесь тоже устанавливается ограничение на существование множеств. Вместо подхода «сверху вниз» Рассела и Фреге, которые первоначально считали, что для любого понятия, свойства или условия можно предположить существование множества всех вещей с таким свойством или удовлетворяющим такому условию, в ЦФ-теории все начинается «снизу вверх».
Отдельные элементы и пустое множество образуют множество. Поэтому, в отличие от ранних систем Рассела и Фреге, ЦФ не относится к универсальному множеству, которое включает все элементы и даже все множества. ЦФ устанавливает жесткие ограничения на существование множеств. Могут существовать только те из них, для которых это явно постулировано или которые могут быть составлены с помощью итерационных процессов и т. д.
Затем, вместо понятия абстракции наивного множества, которое гласит о том, что элемент включен в определенное множество тогда и только тогда, когда он отвечает определяющему условию, в ЦФ используется принцип разделения, выделения или «отсортировки». Вместо предположения о существовании множества всех элементов, которые без исключений удовлетворяют некоторому условию, для каждого уже существующего множества, отсортировка говорит о существовании подмножества всех элементов в оригинальном множестве, которое удовлетворяет условию.
Затем вступает принцип абстракции: если множество A существует, то для всех элементов х в А, х принадлежит подмножеству А, которое удовлетворяет условию С тогда и только тогда, когда х удовлетворяет условию С. Такой подход решает парадокс Рассела, поскольку мы не можем просто предполагать, что есть множество всех множеств, не являющихся членами самих себя.
Имея множество множеств, можно выделить или разделить его на множества, которые находятся в себе, и на те, которые такими не являются, но так как не существует универсального множества, мы не связаны множеством всех множеств. Без допущения проблемного множества Рассела противоречие не может быть доказано.
Другие решения
Кроме того, имели место последующие расширения или модификации всех этих решений, такие как разветвление теории типов «Принципов математики», расширение системы «Математической логики» Куайна, а также более поздние разработки в теории множеств, сделанные Бернайсом, Геделем и фон Нейманом. Вопрос о том, найден ли ответ на неразрешимый парадокс Бертрана Рассела, по-прежнему является предметом дискуссий.
