Уравнения регрессии широко используются в статистическом анализе данных. Они позволяют установить наличие связи между переменными и определить форму этой связи. Регрессионные модели дают возможность не только анализировать имеющиеся данные, но и прогнозировать значения одной переменной на основе другой. В данной статье мы познакомимся с основными понятиями регрессионного анализа, рассмотрим различные типы моделей регрессии, изучим пошаговый алгоритм построения регрессионной модели. Кроме того, обсудим применение регрессии в пакетах статистического анализа и рассмотрим примеры использования регрессионного анализа для решения практических задач.
Основные понятия регрессионного анализа
Термин "регрессия" впервые был использован Френсисом Гальтоном в 1886 году при исследовании наследования физических характеристик человека. Гальтон обнаружил, что рост сыновей регрессирует к среднему значению по сравнению с ростом их отцов. Этот эффект получил название "регрессия к среднему".
В статистике под регрессией понимается зависимость между двумя или более случайными величинами. Эта зависимость может быть как линейной, так и нелинейной.
Различают парную регрессию, где анализируется зависимость одной переменной от другой, и множественную регрессию с несколькими предикторами.Линия регрессии представляет собой усредненную зависимость между переменными.
Эта зависимость описывается уравнением регрессии. Для нахождения уравнения чаще всего используется метод наименьших квадратов.
Пример линейной регрессии
Рассмотрим простейший пример линейной зависимости между ростом сыновей и ростом их отцов:
| Рост отца, см | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 |
| Средний рост сыновей, см | 175 | 178 | 180 | 183 | 186 |
Проведя регрессионный анализ, получаем уравнение прямой вида:
Y = 0.5X + 125
где Y - рост сына, X - рост отца. Данное уравнение описывает среднюю зависимость между ростом отцов и сыновей.
Основные модели уравнений регрессии
Существует множество различных моделей, которые могут использоваться в регрессионном анализе. Рассмотрим основные из них.
Линейные модели
Наиболее простой и часто используемой является линейная модель регрессии. Она имеет вид:
Y = a + bX
где Y - зависимая переменная, X - независимая переменная, a и b - коэффициенты модели.
При наличии нескольких предикторов используется множественная линейная регрессия:
Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn
Нелинейные модели
Если зависимость между переменными нелинейная, могут использоваться различные нелинейные модели:
- Логарифмическая
- Степенная
- Экспоненциальная
- Гиперболическая
- Обратная
Например, экспоненциальная модель имеет вид:
Y = a*e^(b*X)
Выбор конкретной модели осуществляется на основе анализа вида зависимости, а также с использованием статистических критериев.
Критерии выбора модели регрессии
Для выбора наилучшей модели регрессии используются следующие критерии:
- Коэффициент детерминации R2
- Скорректированный R2
- Информационный критерий Акаике
- Байесовский информационный критерий
Чем выше значение R2, тем лучше модель описывает исходные данные. Информационные критерии учитывают количество параметров модели.
Достоинства и недостатки моделей регрессии
У каждого типа регрессионных моделей есть свои преимущества и недостатки:
- Линейные модели просты в интерпретации, но не всегда адекватны.
- Нелинейные модели более гибкие, но требуют предварительных знаний о характере связи.
- Множественная регрессия учитывает все факторы, но чувствительна к мультиколлинеарности.
Примеры применения разных моделей регрессии
Рассмотрим примеры использования линейной и нелинейной моделей в задачах прогнозирования:
1) Прогнозирование объема продаж на основе рекламного бюджета. Линейная модель достаточно точная.
2) Прогноз численности популяции. Лучше подходит логистическая модель.
3) Прогноз цены акций. Экспоненциальная или полиномиальная модель дадут хорошие результаты.
Пошаговый алгоритм регрессионного анализа
Давайте рассмотрим пошаговый алгоритм проведения регрессионного анализа.
- Визуальный анализ данных с помощью диаграмм рассеяния.
- Выбор формы уравнения регрессии, исходя из вида зависимости.
- Оценка параметров уравнения (метод наименьших квадратов).
- Проверка значимости уравнения и его коэффициентов.
- Анализ остатков модели.
- Использование построенной модели для прогнозирования.
- Интерпретация и графическое представление результатов.
На первом этапе строится диаграмма рассеяния, позволяющая визуально оценить форму связи между переменными. На ее основе выбирается тип уравнения регрессии.
Далее с помощью метода наименьших квадратов оцениваются неизвестные коэффициенты модели, минимизирующие сумму квадратов отклонений.
Проводится проверка статистической значимости полученной модели регрессии с помощью критерия Фишера.
Анализ остатков регрессионной модели
После построения модели необходимо проанализировать ее остатки - разности между фактическими и предсказанными значениями.
Анализ остатков позволяет сделать вывод о качестве модели. Остатки должны удовлетворять следующим критериям:
- Иметь нулевое среднее
- Быть независимыми и одинаково распределенными
- Случайно располагаться вокруг нуля
Использование регрессионной модели для прогнозирования
Полученная в результате регрессионного анализа модель может использоваться для прогнозирования:
- Подставляются значения факторов, для которых требуется спрогнозировать зависимую переменную.
- Вычисляется прогнозное значение переменной по формуле модели.
- Строится доверительный интервал прогноза.
Точность прогноза зависит от качества построенной модели. Чем выше коэффициент детерминации, тем ниже неопределенность.
