Что такое правильная дробь? Правильная и неправильная дробь: правила

С дробями мы сталкиваемся в жизни гораздо раньше, чем начинается их изучение в школе. Если разрезать целое яблоко пополам, то мы получим часть фрукта – ½. Разрежем ещё раз – будет ¼. Это и есть дроби. И все, казалось бы, просто. Для взрослого человека. Для ребенка же (а данную тему начинают изучать в конце младшей школы) абстрактные математические понятия ещё пугающе непонятны, и преподаватель должен доступно объяснить, что такое правильная дробь и неправильная, обыкновенная и десятичная, какие операции можно с ними совершать и, главное, для чего всё это нужно.

Какие бывают дроби

Знакомство с новой темой в школе начинается с обыкновенных дробей. Их легко узнать по горизонтальной черте, разделяющей два числа – сверху и снизу. Верхнее называется числителем, нижнее – знаменателем. Существует и строчный вариант написания неправильных и правильных обыкновенных дробей – через косую черту, например: ½, 4/9, 384/183. Такой вариант используется, когда высота строки ограничена и нет возможности применить «двухэтажную» форму записи. Почему? Да потому что она удобнее. Чуть позже мы в этом убедимся.

Помимо обыкновенных, существуют также десятичные дроби. Различить их очень просто: если в одном случае используется горизонтальная или наклонная черта, то в другом – запятая, разделяющая последовательности цифр. Посмотрим пример: 2,9; 163,34; 1,953. Мы намеренно воспользовались точкой с запятой в качестве разделителя, чтобы разграничить числа. Первое из них будет читаться так: «две целых, девять десятых».

Новые понятия

Вернемся к обыкновенным дробям. Они бывают двух видов.

Определение правильной дроби звучит следующим образом: это такая дробь, числитель которой меньше знаменателя. Почему это важно? Сейчас увидим!

У вас есть несколько яблок, разделенных на половинки. Всего – 5 частей. Как вы скажете: у вас «два с половиной» или «пять вторых» яблока? Конечно, первый вариант звучит естественнее, и при разговоре с друзьями мы воспользуемся им. А вот если потребуется посчитать, сколько фруктов достанется каждому, если в компании пять человек, мы запишем число 5/2 и разделим его на 5 – с точки зрения математики это будет нагляднее.

Итак, для наименования правильных и неправильных дробей правило таково: если в дроби можно выделить целую часть (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то она является неправильной. Если этого сделать нельзя, как в случае с ½, 13/16, 9/10, она будет правильной.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, её величина не изменится. Представьте: торт порезали на 4 равные части и дали вам одну. Такой же торт порезали на восемь частей и дали вам две. Не всё ли равно? Ведь ¼ и 2/8 – это одно и то же!

Сокращение

Авторы задач и примеров в учебниках по математике зачастую стремятся запутать учеников, предлагая громоздкие в написании дроби, которые на самом деле можно сократить. Вот пример правильной дроби: 167/334, который, казалось бы, выглядит очень «страшно». Но на самом деле мы можем записать его как ½. Число 334 делится на 167 без остатка – проделав такую операцию, мы получим 2.

Смешанные числа

Неправильную дробь можно представить в форме смешанного числа. Это когда целая часть вынесена вперед и записана на уровне горизонтальной черты. Фактически выражение принимает вид суммы: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и так далее.

Чтобы вынести целую часть, нужно разделить числитель на знаменатель. Остаток от деления записать сверху, над чертой, а целую часть – перед выражением. Таким образом, мы получаем две структурные части: целые единицы + правильную дробь.

Можно осуществить и обратную операцию – для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить полученное значение к числителю. Ничего сложного.

Умножение и деление

Как ни странно, умножать дроби проще, чем складывать. Всего-то и требуется - продлить горизонтальную черту: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

С делением тоже всё просто: нужно перемножить дроби крест-накрест: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Сложение дробей

Что делать, если требуется осуществить сложение или вычитание дробей, а в знаменателе у них разные числа? Поступить так же, как с умножением, не получится – здесь следует понимать определение правильной дроби и её сущность. Нужно привести слагаемые к общему знаменателю, то есть в нижней части обеих дробей должны оказаться одинаковые числа.

Чтобы это осуществить, следует воспользоваться основным свойством дроби: умножить обе части на одно и то же число. Например, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Как же выбрать, к какому знаменателю приводить слагаемые? Это должно быть минимальное число, кратное обоим числам, стоящим в знаменателях дробей: для 1/3 и 1/9 это будет 9; для ½ и 1/7 – 14, потому что меньшего значения, делящегося без остатка на 2 и 7, не существует.

Использование

Для чего нужны неправильные дроби? Ведь гораздо удобнее сразу выделить целую часть, получить смешанное число – и дело с концом! Оказывается, если требуется выполнить умножение или деление двух дробей, выгоднее воспользоваться именно неправильными.

Возьмем следующий пример: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Казалось бы, сократить и вовсе нечего. Но что, если записать результат сложения в первых скобках в виде неправильной дроби? Посмотрите: (37/17) / (37/68)

Теперь всё встает на свои места! Запишем пример таким образом, чтобы всё стало очевидно: (37*68) / (17*37).

Сократим 37 в числителе и знаменателе и, наконец, разделим верхнюю и нижнюю части на 17. Вы же помните основное правило для правильной и неправильной дроби? Мы можем умножать и делить их на любое число, если делаем это одновременно для числителя и знаменателя.

Итак, получаем ответ: 4. Пример выглядел сложным, а ответ содержит всего одну цифру. В математике так часто происходит. Главное – не бояться и следовать простым правилам.

Распространенные ошибки

При осуществлении действий с дробями учащийся может легко совершить одну из популярных ошибок. Обычно они происходят из-за невнимательности, а иногда – из-за того, что изученный материал ещё не отложился в голове как следует.

Нередко сумма чисел, стоящая в числителе, вызывает желание сократить отдельные её компоненты. Допустим, в примере: (13 + 2) / 13, написанном без скобок (с горизонтальной чертой), многие ученики по неопытности зачеркивают 13 сверху и снизу. Но так делать нельзя ни в коем случае, ведь это грубая ошибка! Если бы вместо сложения стоял знак умножения, мы получили бы в ответе число 2. Но при осуществлении сложения никакие операции с одним из слагаемых не позволительны, только со всей суммой целиком.

Ещё ребята часто ошибаются при делении дробей. Возьмем две правильные несократимые дроби и разделим друг на друга: (5/6) / (25/33). Ученик может перепутать и записать результирующее выражение как (5*25) / (6*33). Но так бы получилось при умножении, а в нашем случае всё будет несколько иначе: (5*33) / (6*25). Сокращаем то, что возможно, и в ответе увидим 11/10. Получившуюся неправильную дробь запишем как десятичную - 1,1.

Скобки

Помните, что в любых математических выражениях порядок действий определяется приоритетом знаков операций и наличием скобок. При прочих равных отсчёт очередности выполнения действий происходит слева направо. Это актуально и для дробей – выражение в числителе или знаменателе рассчитывается строго по этому правилу.

Ведь что такое правильная дробь? Это результат деления одного числа на другое. Если они не делятся нацело, получается дробь – вот и всё.

Как записать дробь на компьютере

Поскольку стандартные средства не всегда позволяют создать дробь, состоящую из двух «ярусов», ученики порой идут на различные ухищрения. Например, копируют числители и знаменатели в графический редактор «Пейнт» и склеивают их воедино, рисуя между ними горизонтальную линию. Конечно, есть более простой вариант, который, кстати, предоставляет и массу дополнительных возможностей, которые станут полезны вам в будущем.

Откройте «Майкрософт Ворд». Одна из панелей в верхней части экрана носит называние «Вставка» - нажмите её. Справа, в той стороне, где расположены значки закрытия и сворачивания окна, есть кнопка «Формула». Это именно то, что нам нужно!

Если вы воспользуетесь данной функцией, на экране появится прямоугольная область, в которой можно использовать любые математические знаки, отсутствующие на клавиатуре, а также писать дроби в классическом виде. То есть разделяя числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Вы даже можете удивиться, что такую правильную дробь настолько легко записать.

Изучайте математику

Если вы учитесь в 5-6 классе, то уже скоро знание математики (в том числе – умение работать с дробями!) потребуется во многих школьных предметах. Практически в любой задаче по физике, при измерении массы веществ в химии, в геометрии и тригонометрии без дробей никак не обойтись. Уже скоро вы научитесь вычислять всё в уме, даже не записывая выражения на бумаге, но будут появляться всё более и более сложные примеры. Поэтому выучите, что такое правильная дробь и как с ней работать, не отставайте по учебной программе, своевременно делайте домашние задания, и тогда вы преуспеете.