Момент инерции прямоугольника: понятие, расчет для двух положений осей

Математика и физика являются, пожалуй, двумя научными дисциплинами, которые ближе всего связаны друг с другом. Так, результаты одной из них используются для развития другой. Одним из ярких примеров, отражающих их взаимодействие, является расчет момента инерции прямоугольника относительно оси.

О моменте инерции в математике и физике

Многие люди, знакомые с физикой или математикой, наверняка, слышали об этом понятии. Тем не менее, стоит разобраться в нем подробнее, чтобы не возникало путаницы.

В физике под моментом инерции понимают характеристику вращающейся системы, которая описывает инерционные свойства тела. Например, для точки с массой m, которая совершает круговые движения вокруг оси, находящейся от нее на расстоянии r, эта величина выражается формулой:

I = m*r².

Откуда видно, что описывается она килограммами на квадратный метр.

В математике момент инерции - это совершенно иная вещь, которая вычисляется не относительно трехмерного объекта, а относительно плоского тела или сечения. В общем случае можно говорить о моменте инерции n-го порядка. В данной же статье, при вычислении момента инерции прямоугольника, речь пойдет о величине второго порядка.

Момент инерции 2-го порядка для сечения

Стоит перейти к математической формулировке рассматриваемой величины. Итак, в математике она появляется в виде следующего определения:

I_o = ∫∫_A(r²*dA).

Здесь I_o - момент инерции второго порядка, вычисляемый относительно оси O; A - площадь сектора, для которого определяется величина I_o; dA - элемент площади сектора, который находится от оси O на расстоянии r.

Эта формула показывает, что размерностью I_o является единица расстояния в четвертой степени (м⁴), что отличает его от момента инерции для тела в физике (см. пункт выше).

Зачем вычисляют величину I_o? Конечно же, это не чистая математическая задача, которая не имеет прикладного характера. Момент инерции I_o для сечений различной формы необходим при расчетах сгибающих напряжений в инженерных конструкциях, например, для балок.

Далее приведены расчеты для осевого момента инерции прямоугольника при различном положении оси вращения O относительно объекта.

Ось проходит через центр фигуры параллельно одной из сторон

Пусть дан прямоугольник с размерами сторон a и b. Допустим, что ось O делит фигуру на две равные половины и параллельна стороне a. Эта ситуация изображена на рисунке ниже.

Двойной интеграл для такой ситуации можно посчитать достаточно просто, поскольку расстояние r любого элемента с площадью dA будет равно x. При этом интегрирование проводится от -b/2 до +b/2 (ось O пересекает начало координат по оси x). Что касается пределов интегрирования по y, то их можно выбрать, как от -a/2 до +a/2 (начало координат в центре фигуры), так и от 0 до a (начало координат лежит на середине одной из сторон длиной b). Для определенности стоит выбрать второй вариант. Тогда общая формула для момента инерции второго порядка запишется в виде:

I_o = ∫₀^a∫_-b/2^+b/2(x²*dx*dy).

Вычисляем двойной интеграл по порядку, подставляем известные пределы, получается:

I_o = x³/3|_-b/2^+b/2*y|₀^a = b³*a/12.

Таким образом, получена формула момента инерции прямоугольника для оси, проходящей через его середину параллельно сторонам с длиной a.

Очевидно, что если ось будет проходить параллельно сторонам b, то ничего не изменится в расчете, за исключением того, что обозначения сторон поменяются местами. То есть получится формула:

I_o = a³*b/12.

Ось проходит через сторону прямоугольника

В этом случае ситуация полностью аналогична предыдущей, только теперь ось O1 сдвинута к одному из краев фигуры. Для расчета такого момента инерции необходимо лишь поменять пределы интегрирования по соответствующей стороне.

Пусть ось O1 будет проходить через сторону a, тогда пределы интегрирования по x будут от 0 до b. Если подставить их в формулу, получится:

I_o1 = x³/3|₀^b*y|₀^a = b³*a/3.

Соответственно, если ось O1 проходит через b, тогда получится:

I_o1 = a³*b/3.

Как видно, смещение оси к краю фигуры приводит к увеличению ее момента инерции в 4 раза.

Стоит отметить, что формулы для случая, рассмотренного в данном пункте, можно было получить с использованием теоремы Штейнера, которая имеет аналогичный вид, что и в случае расчета момента инерции тела в физике:

I_o1 = I_o + d²*A.

Здесь d - расстояние между осями O и O1. Если обе оси параллельны сторонам a фигуры, тогда d = b/2 (половина длины стороны b прямоугольника). Поскольку площадь прямоугольника равна a*b, то получится:

I_o1 = b³*a/3 + (b/2)²*a*b = b³*a/12 + b³*a/4 = b³*a/3.

Таким же образом применяется эта теорема для оси O1, параллельной стороне b, только d в этом случае будет равен уже a/2.