Прогрессия алгебраическая или арифметическая - это вид упорядоченной числовой последовательности, свойства которой изучают в школьном курсе алгебры. В данной статье подробно рассмотрен вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии.
Что это за прогрессия?
Прежде чем переходить к рассмотрению вопроса (как найти сумму арифметической прогрессии), стоит понять, о чем пойдет речь.
Любая последовательность действительных чисел, которая получается путем добавления (вычитания) некоторого значения из каждого предыдущего числа, называется алгебраической (арифметической) прогрессией. Это определение в переводе на язык математики принимает форму:
ai = ai-1 + d.
Здесь i - порядковый номер элемента ряда ai. Таким образом, зная всего одно начальное число, можно с легкостью восстановить весь ряд. Параметр d в формуле называется разностью прогрессии.
Можно легко показать, что для рассматриваемого ряда чисел выполняется следующее равенство:
an = a1 + d * (n - 1).
То есть для нахождения значения n-го по порядку элемента следует n-1 раз добавить разность d к первому элементу a1.
Чему равна сумма арифметической прогрессии: формула
Прежде чем приводить формулу для указанной суммы, стоит рассмотреть простой частный случай. Дана прогрессия натуральных чисел от 1 до 10, необходимо найти их сумму. Поскольку членов в прогрессии немного (10), то можно решить задачу в лоб, то есть просуммировать все элементы по порядку.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Стоит учесть одну интересную вещь: поскольку каждый член отличается от последующего на одно и то же значение d = 1, то попарное суммирование первого с десятым, второго с девятым и так далее даст одинаковый результат. Действительно:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Как видно, этих сумм всего 5, то есть ровно в два раза меньше, чем число элементов ряда. Тогда умножая число сумм (5) на результат каждой суммы (11), вы придете к полученному в первом примере результату.
Если обобщить эти рассуждения, то можно записать следующее выражение:
Sn = n * (a1 + an) / 2.
Это выражение показывает, что совсем не обязательно суммировать подряд все элементы, достаточно знать значение первого a1 и последнего an, а также общего числа слагаемых n.
Считается, что впервые до этого равенства додумался Гаусс, когда искал решение на заданную его школьным учителем задачу: просуммировать 100 первых целых чисел.
Сумма элементов от m до n: формула
Формула, приведенная в предыдущем пункте, дает ответ на вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии (первых элементов), но часто в задачах необходимо просуммировать ряд чисел, стоящих в середине прогрессии. Как это сделать?
Ответить на этот вопрос проще всего, рассматривая следующий пример: пусть необходимо найти сумму членов от m-го до n-го. Для решения задачи следует представить заданный отрезок от m до n прогрессии в виде нового числового ряда. В таком представлении m-й член am будет первым, а an станет под номер n-(m-1). В этом случае, применяя стандартную формулу для суммы, получится следующее выражение:
Smn = (n - m + 1) * (am + an) / 2.
Пример использования формул
Зная, как найти сумму арифметической прогрессии, стоит рассмотреть простой пример использования приведенных формул.
Ниже дана числовая последовательность, следует найти сумму ее членов, начиная с 5-го и заканчивая 12-м:
-4, -1, 2, 5, ...
Приведенные числа свидетельствуют, что разность d равна 3. Используя выражение для n-го элемента, можно найти значения 5-го и 12-го членов прогрессии. Получается:
a5 = a1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a12 = a1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Зная значения чисел, стоящих на концах рассматриваемой алгебраической прогрессии, а также зная, какие номера в ряду они занимают, можно воспользоваться формулой для суммы, полученной в предыдущем пункте. Получится:
S512 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Стоит отметить, что это значение можно было получить иначе: сначала найти сумму первых 12 элементов по стандартной формуле, затем вычислить сумму первых 4 элементов по той же формуле, после этого вычесть из первой суммы вторую.