Каждый слышал о таких объемных фигурах, как шар, цилиндр, пирамида и призма. Последняя из них является совершенным полиэдром, свойства которого рассматриваются в школьном курсе геометрии в старших классах. В данной статье раскроем вопрос, как найти объем прямой призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник.
Понятие о прямой призме
Перед определением объема любой пространственной фигуры важно четко разобраться, с чем предстоит иметь дело. В нашем случае мы рассмотрим прямую, или прямоугольную призму. Она представляет собой фигуру, состоящую из двух оснований и нескольких боковых граней, которые перпендикулярны этим основаниям. Оба основания представлены одним и тем же многоугольником и являются параллельными друг другу. Если количество граней многоугольника стремится к бесконечности, то такая прямая призма переходит в цилиндр.
Вопрос перпендикулярности боковых граней и оснований фигуры имеет принципиальное значение. Как будет показано ниже, именно от этого свойства зависит конечная формула для вычисления объема прямой, или прямоугольной призмы. Прямоугольной она называется потому, что боковые ее грани являются прямоугольниками.
Противоположностью прямоугольной призме является косоугольная. Как можно догадаться, отличие между ними заключается только в угле между боковыми гранями и основаниями. В косоугольной, или наклонной призме этот угол отличен от 90o.
На рисунке выше изображены две четырехугольные призмы, одна из которых является прямой (левая), а вторая - косоугольной.
Какие прямоугольные призмы бывают?
Различие между всеми прямыми призмами заключается в типе многоугольника, образующего основания фигур. Многоугольником с наименьшим количеством сторон является треугольник. Призма, которая построена с помощью него, будет называться треугольной. Аналогичным образом фигура с четырехугольными основаниями получит название призмы четырехугольной. Рассуждая таким образом, можно сказать, что n-угольная прямая призма образована двумя n-угольниками и n прямоугольниками.
В предыдущем абзаце при рассмотрении названий призм использовались произвольные треугольники, четырехугольники и n-угольники. Если же рассматривается правильный многоугольник, то образованная им призма также будет называться правильной. Например, для n = 3 правильным многоугольником является равносторонний треугольник, а для n = 4 – квадрат.
Выше на рисунке изображены 6 правильных прямоугольных призм. Каждая предыдущая отличается от последующей наличием в основаниях многоугольника, у которого на 1 вершину и 1 сторону больше. Первая призма является правильной треугольной, а последняя – правильной восьмиугольной.
Вычисление объема прямой призмы
Получив четкое представление о прямоугольной призме, можно перейти к вычислению ее объема. Как найти объем прямой призмы? Очень просто, достаточно лишь определить площадь одного из ее оснований и высоту фигуры, а затем одну величину умножить на другую. Математическая формула для объема имеет вид:
V = So*h
Высота фигуры h для прямой призмы есть не что иное, как длина ее бокового ребра (вертикальной стороны прямоугольника). Этот факт существенно упрощает расчет, поскольку в противном случае (когда призма является косоугольной) для вычисления высоты h пришлось бы строить перпендикуляр от одного основания к другому и, учитывая угол наклона призмы, рассчитывать длину этого перпендикуляра.
Что касается площади основания So, то для ее определения следует использовать геометрические свойства соответствующего многоугольника. Например, если им является параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение основания на опущенную к нему высоту. Величину So проще всего вычислить, если многоугольник является правильным.
Формула для объема правильной призмы
Предположим, что основание рассматриваемой объемной фигуры образовано n-угольником. Из общего курса геометрии известно, что площадь такого n-угольника рассчитывается по следующей универсальной формуле:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)
Где символом «a» обозначена длина стороны n-угольника.
Объем прямой призмы, основанием которой является правильный многоугольник с количеством вершин n, вычисляется с помощью выражения:
Vn = Sn*h = n/4*ctg(pi/n)*a2*h
Функцию котангенса для каждого случая можно вычислить, либо используя соответствующие таблицы тригонометрических функций, либо применяя калькулятор.
Далее в статье рассмотрим несколько примеров использования приведенных формул для вычисления объема призмы.
Задача №1. Объем правильной семиугольной призмы
Вычислим объем редко используемой в задачах по геометрии призмы, основания которой представляют собой правильные семиугольники. Эта фигура изображена на рисунке выше. Запишем для нее соответствующую формулу:
V7 = 7/4*ctg(pi/7)*a2*h
Для определения котангенса от угла pi/7 воспользуемся калькулятором. Тогда получаем:
V7 = 7/4*ctg(pi/7)*a2*h = 3,634*a2*h
Например, если a = 10 см, h = 7 см, тогда получаем объем:
V7 = 3,634*102*7 = 2543,8 см3
Тара, изготовленная из этой призмы, способна вместить в себя чуть больше 2,5 литров воды.
Задача №2. Объем треугольной призмы
Предположим, что необходимо найти объем прямой призмы с прямоугольным треугольником в основании. Пусть катеты этого треугольника равны a и b, а высота фигуры составляет h. Пример этой фигуры, сделанной из стекла, показан на фото выше.
Поскольку основание призмы не является правильным треугольником, то использовать универсальную формулу нельзя. Однако можно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника, для которого площадь вычисляется как половина произведения его катетов. Учитывая этот факт, получаем выражение:
V = So*h = 1/2*a*b*h
Если катеты равны 5 см и 9 см, а высота составляет 8 см, тогда рассчитанный объем будет равен 180 см3.
