Функция арктангенса: свойства, график

Обратные тригонометрические функции традиционно вызывают сложности у школьников. Умение вычислять арктангенс числа может потребоваться в задачах ЕГЭ по планиметрии и стереометрии. Для успешного решения уравнения и задачи с параметром необходимо иметь представление о свойствах функции арктангенса.

Определение

Арктангенсом числа х называется такое число у, тангенс которого равен х. Это есть математическое определение.

Функция арктангенса записывается как y = arctg x.

В более общем виде: y = Carctg (kx + a).

Вычисление

Для понимания того, как устроена обратная тригонометрическая функция арктангенса, нужно для начала вспомнить, как определяют значение тангенса числа. Рассмотрим подробнее.

Тангенс х - это отношение синуса х к косинусу х. Если известна хотя бы одна из этих двух величин, то модуль второй может быть получен из основного тригонометрического тождества:

sin2 x + cos2 x = 1.

Правда, для раскрытия модуля потребуется проведение оценки.

Если же известно само число, а не его тригонометрические характеристики, то в большинстве случаев нужно примерно оценить тангенс числа, обратившись к таблице Брадиса.

Исключения составляют так называемые стандартные значения.

Они представлены в следующей таблице:

таблица значений

Кроме перечисленных выше, стандартными можно считать любые значения, полученные из данных добавлением числа вида ½πк (к - любое целое число, π=3,14).

Ровно то же самое верно и для арктангенса: чаще всего приближенное значение можно посмотреть по таблице, а точно известны лишь несколько значений:

таблица значений

На практике при решении задач школьной математики принято давать ответ в виде выражения, содержащего арктангенс, а не его приблизительной оценки. Например, arctg 6, arctg (-¼).

Построение графика

Поскольку тангенс может принимать любые значения, область определения функции арктангенса - вся числовая прямая. Поясним подробнее.

Один и тот же тангенс соответствует бесконечному числу аргументов. Например, нулю равен не только тангенс нуля, но и тангенс любого числа вида π к, где к - целое число. Поэтому математики условились выбирать для арктангенса значения из промежутка от -½ π до ½ π. Это нужно понимать так. Область значений функции арктангенса - интервал (-½ π; ½ π). Концы промежутка не включаются, так как тангенс -½п и ½п не существует.

На указанном интервале тангенс непрерывно возрастает. Значит, обратная функция арктангенса тоже является непрерывно возрастающей на всей числовой прямой, но ограниченной сверху и снизу. Вследствие этого она имеет две горизонтальные асимптоты: y = -½ π и y = ½ π.

В этом случае tg 0 = 0, других точек пересечения с осью абсцисс, кроме (0;0), график не может иметь в силу возрастания.

Как следует из четности функции тангенса, арктангенс имеет аналогичное свойство.

Для построения графика следует взять несколько точек из числа стандартных значений:

График арктангенса

Производная функции y = arctg х в любой точке вычисляется по формуле:

производная арктангенса

Заметим, что его производная всюду положительна. Это согласуется со сделанным ранее выводом о непрерывном возрастании функции.

Вторая производная арктангенса обращается в 0 в точке 0, отрицательна при положительных значениях аргумента и наоборот.

Это означает, что график функции арктангенса имеет точку перегиба в нуле и является выпуклым вниз на промежутке (-∞; 0] и выпуклым вверх на промежутке [0; +∞).

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментарии 0
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.