Площадь полной поверхности призмы. Формулы и пример задачи

Важным разделом геометрии, который изучают в старших классах школ, является стереометрия. Объекты ее исследования - это характеристики и свойства фигур в трехмерном пространстве. Данная статья посвящена вопросу площади полной поверхности призмы.

О каком геометрическом объекте пойдет речь?

Прежде чем рассматривать у призмы площадь поверхности полной, необходимо объяснить, что она собой представляет. Под ней в стереометрии понимают объемное тело, которое ограничено несколькими гранями. Две из них лежат в параллельных плоскостях и являются абсолютно одинаковыми, они называются основаниями фигуры. Остальные грани связывают соответствующие стороны оснований между собой и называются боковыми. Чтобы понять, какая фигура описана выше, приведем пример десятиугольной призмы.

Так она называется из-за числа углов в основании. Из рисунка видно, если 10 - это число углов многоугольного основания, то количество сторон фигуры равно 10+2 = 12, число ее вершин составляет 2*10 = 20, а количество ребер равно 3*10 = 30. На рисунке боковые грани представляют собой квадраты. В общем же случае эти грани являются параллелограммами.

Все представители класса призм классифицируются по нескольким признакам. Главным образом, эти признаки определяются типом многоугольного основания. Так, оно может быть вогнутым и выпуклым, правильным и произвольной формы. Если все стороны боковые являются прямоугольниками или квадратами, то говорят о прямых фигурах. Если же некоторые из этих сторон будут параллелограммами произвольного типа, то призма называется наклонной. Особый класс - это правильные геометрические объекты. Помимо того, что они являются прямыми, их основания представляют собой равносторонние и равноугольные плоские многоугольники. На рисунке ниже приведен широкий набор правильных призм.

Поверхность фигуры

Под поверхностью любой призмы понимают совокупность всех точек, которые лежат на гранях и образуют их. Поскольку изучаемый многогранник состоит из двух типов сторон, то выделяют площадь поверхности боковой S_b и площадь оснований 2*S_o, где символ S_o обозначает одно многоугольное основание.

Удобнее всего поверхность изучать на примере плоской развертки, которая получается, если отрезать два основания от фигуры, а боковую поверхность разрезать вдоль любого ребра бокового и развернуть. Например, развертка призмы шестиугольной показана ниже на рисунке.

Поскольку шестиугольники являются правильными, и все боковые стороны равны друг другу и представляют собой прямоугольники, то перед нами развертка правильной фигуры.

Формулы полной площади

Выше мы выяснили, что найти площадь полной поверхности призмы можно по следующей формуле:

S = S_b + 2*S_o.

Для площади основания однозначной формулы не существует, поскольку оно может принимать совершенно произвольную геометрическую форму. Однако, если основание является правильным, и его сторона равна a, тогда для вычисления S_o можно воспользоваться следующим выражением:

S_o = n/4*ctg(pi/n)*a².

Где латинской буквой n обозначено количество сторон основания.

Для определения величины S_b можно применить следующие выражения:

S_b = ∑_i=1ⁿ(a_i*h_bi);

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i );

S_b = n*a*h.

Первое выражение здесь используется тогда, когда все стороны боковые представляют собой параллелограммы (h_bi - высота i-го параллелограмма), вторая формула применяется для прямой призмы, а третья формула - для правильной.

Пример задачи

Необходимо вычислить площадь полной поверхности призмы правильной треугольной. Сторона ее основания равна 10 см, а боковая сторона составляет 7 см.

Эта призма состоит из 5 граней: 3 одинаковых прямоугольника и 2 равносторонних треугольника. Сначала запишем формулу для полной площади S, имеем:

S_o = 3/4*ctg(pi/3)*a² = √3/4*a²;

S_b = 3*a*h.

S = 2*S_o + S_b = √3/2*a² + 3*a*h.

Теперь осталось подставить числа из условия задачи и получить ответ: S = 296,6 см².