Одной из самых сложных и непонятных тем вузовской математики становятся интегрирование и дифференциальное исчисление. Необходимо знать и разбираться в этих понятиях, а также уметь их применять. Многие вузовские технические дисциплины завязаны на дифференциалах и интегралах.
Краткая информация про уравнения
Данные уравнения являются одним из важнейших математических понятий в образовательной системе. Дифференциальное уравнение - это уравнение, которое связывает независимые переменные, функцию, которую необходимо отыскать и производные этой функции переменным, которые считаются независимыми. Дифференциальное исчисление для отыскания функции одной переменной называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то говорят об уравнении в частных производных.
По сути, нахождение некого ответа уравнения сводится к интегрированию, а метод решения определяется видом уравнения.
Уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка - такое уравнение, которое способно описать переменную, нужную функцию и ее первую производную. Такие уравнения могут быть заданы в трех видах: явная, неявная, дифференциальная.
Понятия, необходимые для решения
Начальное условие - задание значения искомой функции при заданном значении переменной, которая является независимой.
Решение дифференциального уравнения - любая дифференцируемая функция, точно подставленная в исходное уравнение, обращает его в тождественно равное. Решение полученное, не являющееся явным, есть интеграл уравнения.
Общее решение дифференциальных уравнений - это функция y = y(x;C), которая может удовлетворять следующим суждениям:
- Функция может иметь только одну произвольную постоянную С.
- Полученная функция должна быть решением уравнения при любых произвольных значениях произвольной постоянной.
- При заданном начальном условии произвольную постоянную можно определить единственным образом так, что полученное частное решение будет согласовываться с заданным раннее начальным условием.
На практике часто используется задача Коши - отыскание такого решения, которое является частным и может сравниться с условием, поставленным в начале.
Теорема Коши - теорема, которая подчеркивает существование и единственность частного решения в дифференциальных исчислениях.
Геометрический смысл:
- Общее решение y = y(x;C) уравнения есть общее количество интегральных кривых.
- Дифференциальное исчисление позволяет связать координаты точки плоскости XOY и касательную, которая проведена к интегральной кривой.
- Задание исходного условия означает задание точки на плоскости.
- Решить задачу Коши означает, что из всего множества интегральных кривых, представляющих одинаковое решение уравнения, необходимо отобрать ту единственную, проходящую через единственную возможную точку.
- Выполнение условий теоремы Коши в точке означает, что через выбранную точку в плоскости обязательно проходит (притом, только одна) интегральная кривая.
Уравнение с разделяющимися переменными
По определению, дифференциальное уравнение - это такое уравнение, где его правая часть описывает собой или отражена в виде произведения (иногда отношения) двух функций, одна, зависящая только от "х", а другая - только от "y". Ясный пример для такого вида: y' = f1(x)*f2(y).
Чтобы решить уравнения конкретной формы, требуется сначала преобразовать производную y' = dy/dx. Затем нужно с помощью манипуляций с уравнением привести его к такому виду, когда можно интегрировать две части уравнения. После необходимых преобразований интегрируем обе части и упрощаем полученный результат.
Однородные уравнения
По определению, дифференциальное уравнение можно именовать однородным, если оно имеет следующую форму: y' = g(y/x).
При этом чаще всего используется замена y/x = t(x).
Для решения подобных уравнений необходимо свести однородное уравнение к виду с разделяющимися переменными. Для этого необходимо произвести следующие операции:
- Отобразить, выражая производную изначальной функции, из любой исходной в виде нового уравнения.
- Следующим шагом необходимо преобразовать полученную функцию в вид f(x;y) = g(y/x). Более простыми словами - сделать так, чтобы уравнение содержало только отношение y/x и константы.
- Произвести следующую замену: y/x = t(x); y = t(x)*x; y' = t'*x + t. Произведенное замещение поможет поделить в уравнении переменные, постепенно приводя его к более простой форме.
Линейные уравнения
Определение таких уравнений выглядит следующим образом: линейное дифференциальное уравнение - это такое уравнение, где его правая часть выражается как линейное выражение относительно изначальной функции. Искомая функция в этом случае: y' = a(x)*y + b(x).
Перефразируем определение следующим образом: любое уравнение 1-го порядка станет линейным по своему виду, если изначальная функция и ее производная от нее включены в уравнение первых степенях и не умножаются на друг друга. "Классический вид" линейного диф-уравнения имеет следующую структуру: y' + P(x)y = Q(x).
Прежде чем решать такое уравнение, следует преобразовать его к "классической форме". Следующим этапом станет выбор способа решений: способ Бернулли или методика Лагранжа.
Решение уравнения с помощью метода, который ввел Бернулли, подразумевает собой подстановку и сведение линейного дифференциального уравнения к двум уравнениям с раздельными переменными сравнительно функций U(x), а также V(x), которые были даны в первоначальном виде.
Метод Лагранжа заключается в поиске общего решения исходного уравнения.
- Следует отыскать одинаковое решение однородного уравнения. После поиска имеем функцию y = y(x,C), где C - произвольная постоянная.
- Ведем поиск решения изначального уравнения в той же форме, но считаем C = C(x). Подставляем функцию y = y(x,C(x)) в изначальное уравнение, отыскиваем функцию C(x) и записываем решение общего исходного уравнения.
Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли - если правая часть исчисления принимает вид f(x;y) = a(x)y + b(x)yk, где k - любое возможное рациональное числовое значение, не беря в пример случаи, когда k = 0 и k = 1.
Если k = 1, то исчисление принимает вид с разделяющимися переменными, а при k = 0 уравнение остается линейным.
Рассмотрим общий случай решения данного типа уравнения. Имеем стандартное уравнение Бернулли. Его необходимо свести к линейному, для этого нужно поделить уравнение на yk. После этой операции произвести замену z(x) = y1-k. После ряда преобразований уравнение будет сводиться к линейному, чаще всего методом подстановки z = U*V.
Уравнения в полных дифференциалах
Определение. Уравнение, имеющее структуру P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 именуется уравнением в полных дифференциалах, в том случае, если соблюдается следующее условие (в этом условии "d" - частный дифференциал): dP(x;y)/dy = dQ(x;y)/dx.
Все раннее рассмотренные первого порядка дифференциальные уравнения можно отобразить в виде дифференциалов.
Такие исчисления решаются несколькими способами. Но, однако, все они начинаются с проверки выполнения условия. Если условие выполнено, то крайняя левая область уравнения есть полный дифференциал, пока неизвестной функции U(x;y). Тогда, в соответствии с уравнением, dU(x;y) будет равно нулю, и поэтому одинаковый интеграл уравнения в полных дифференциалах будет отображаться в виде U(x;y) = С. Поэтому решение уравнения приводится к отысканию функции U(x;y).
Интегрирующий множитель
Если в уравнении условие dP(x;y)/dy = dQ(x;y)/dx не выполняется, то уравнение не имеет вид, который мы рассмотрели пунктом выше. Но иногда можно подобрать некоторую функцию M(x;y), при умножении на которую уравнение принимает вид уравнения в полных "диффурах". Функция M (x;y) именуется как интегрирующий множитель.
Интегрирующий можно найти только в тех случаях, когда он становится функцией исключительно для одной переменной.
