Парадокс Ахиллеса и черепахи, который выдвинул древнегреческий философ Зенон, бросает вызов здравому смыслу. В нем утверждается, что спортивный парень Ахиллес никогда не догонит неповоротливую черепаху, если она начинает свое движение раньше него. Так что же это: софизм (сознательная ошибка в доказательстве) или парадокс (утверждение, имеющее логическое объяснение)? Попробуем разобраться в этой статье.
Кто такой Зенон?
Зенон родился около 488 года до нашей эры в Элеа (сегодняшняя Велия), Италия. Он прожил несколько лет в Афинах, где посвятил всю свою энергию объяснению и развитию философской системы Парменида. Из сочинений Платона известно, что Зенон был на 25 лет моложе Парменида, написал защиту своей философской системы в очень раннем возрасте. Хотя мало что было спасено из его сочинений. Большинство из нас знает о нем лишь из трудов Аристотеля, а также то, что этот философ, Зенон Элейский, знаменит своими философскими рассуждениями.
Книга парадоксов
В пятом веке до нашей эры греческий философ Зенон занимался явлениями движения, пространства и времени. Как люди, животные и объекты могут двигаться - это основа парадокса Ахилла и черепахи. Математик и философ написал четыре парадокса или "парадоксы движения", которые вошли в книгу, написанную Зеноном 2500 лет назад. Они поддерживали позицию Парменида о том, что движение невозможно. Мы рассмотрим самый известный парадокс - про Ахиллеса и черепаху.
История такова: Ахиллес и черепаха решили посостязаться в беге. Чтобы сделать состязание более интересным, черепаха на некоторое расстояние опередила Ахиллеса, так как последний намного быстрее черепахи. Парадокс заключался в том, что до тех пор, пока теоретически продолжается бег, Ахилл никогда не обгонит черепаху.
В одной из версий парадокса Зенон утверждает, что нет такой вещи, как движение. Существует много вариаций, Аристотель перечисляет четыре из них, хотя по существу можно назвать их вариациями двух парадоксов движения. Один касается времени, а другой - пространства.
Из физики Аристотеля
Из книги VI.9 физики Аристотеля можно узнать, что
В гонке самый быстрый бегун никогда не сможет догнать самого медленного, так как преследователь должен сначала дойти до точки, в которой началось преследование.
Итак, после того как Ахилл бежит в течение неопределенного промежутка времени, он достигнет точки, из которой начинала движение черепаха. Но за абсолютно такое же время черепаха будет продвигаться вперед, достигая следующей точки своего пути, поэтому Ахиллесу все еще предстоит догонять черепаху. Снова он движется вперед, довольно быстро приближаясь к тому, что раньше занимала черепаха, снова "обнаруживает", что черепаха немного поползла вперед.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока вы хотите его повторять. Из-за того, что измерения являются человеческой конструкцией, а поэтому бесконечны, мы никогда не достигнем точки, в которой Ахилл побеждает черепаху. Именно в этом и заключается парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе. Следуя логическим рассуждениям, Ахилл никогда не сможет догнать черепаху. На практике, конечно же, спринтер Ахиллес пробежит мимо медлительной черепахи.
Смысл парадокса
Описание сложнее, чем на самом деле парадокс. Поэтому многие и говорят: "Не понимаю парадокс Ахиллеса и черепахи". Умом сложно воспринять то, что на самом деле не очевидно, а очевидно как раз обратное. Все заключено в объяснении самой задачи. Зенон доказывает, что пространство делимо, а поскольку оно делимо, то нельзя достичь определенной точки в пространстве, когда другой переместился из этой точки дальше.
Зенон, учитывая эти условия, доказывает, что Ахилл не может догнать черепаху, потому что пространство можно бесконечно разделить на более мелкие части, где черепаха всегда будет частью пространства впереди. Следует также отметить, что, пока время - это движение, как это сделал Аристотель, два бегуна будут двигаться бесконечно, таким образом, будучи неподвижными. Получается, что Зенон прав!
Решение парадокса Ахиллеса и черепахи
Парадокс показывает несоответствие между тем, как мы думаем о мире и каким на самом деле является мир. Джозеф Мазур, почетный профессор математики и автор книги «Просветленные символы», описывает парадокс как «трюк», заставляя вас думать о пространстве, времени и движении неправильным образом.
Затем возникает задача определить, что именно не так с нашим мышлением. Движение возможно, конечно, быстрый человеческий бегун может опередить черепаху в гонке.
Парадокс Ахиллеса и черепахи с точки зрения математики выглядит следующим образом:
- Предполагая, что черепаха находится на 100 метров впереди, когда Ахиллес прошел 100 метров, черепаха будет на 10 метров впереди него.
- Когда он достигнет этих 10 метров, черепаха будет на 1 метр впереди.
- Когда он достигнет 1 метра, черепаха будет на 0,1 метра впереди.
- Когда он достигнет 0,1 метра, черепаха будет на 0,01 метра впереди.
Поэтому в том же процессе Ахиллес потерпит бесчисленные поражения. Конечно, сегодня мы знаем, что сумма 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,001 + ... = 111,111 ... является точным числом и определяет, когда Ахиллес опередит черепаху.
До бесконечности, а не за ее пределами
Путаница, созданная примером Зенона, была в первую очередь из бесконечного количества точек наблюдения и позиций, которые Ахиллесу сначала пришлось достичь, когда черепаха неуклонно двигалась. Таким образом, Ахиллесу было бы почти невозможно догнать черепаху, не говоря уже о том, чтобы обогнать ее.
Во-первых, пространственное расстояние между Ахиллесом и черепахой становится все меньше и меньше. Но время, необходимое для преодоления расстояния, пропорционально уменьшается. Созданная проблема Зенона приводит к расширению точек движения до бесконечности. Но еще не было математической концепции.
Как известно, только в конце XVII века в исчислении можно было найти математически обоснованное решение этой проблемы. Ньютон и Лейбниц подошли к бесконечному с формальными математическими подходами.
Английский математик, логик и философ Бертран Рассел сказал, что "... аргументы Зенона в той или иной форме дали основу почти для всех теорий пространства и бесконечности, предложенных в наше время до наших дней..."
Это софизм или парадокс?
Если рассматривать с точки зрения философии, Ахиллес и черепаха - парадокс. В нем нет противоречий и ошибок в рассуждениях. Все основано на целеполагании. У Ахиллеса была цель не догнать и обогнать, а догонять. Постановка цели - догонять. Это никогда не позволит быстроногому Ахиллесу ни догнать, ни обогнать черепаху. В данном случае ни физика с ее законами, ни математика не могут помочь Ахиллесу обогнать это медлительное существо.
Благодаря этому средневековому философскому парадоксу, который создал Зенон, можно делать вывод: нужно правильно ставить цель, и идти к ней. Стремясь догонять кого-то, вы всегда будете оставаться вторым, да и то в лучшем случае. Зная, какую цель ставит человек, можно с уверенностью сказать, достигнет он ее или будет зря тратить силы, ресурсы и время.
В реальной жизни встречается масса примеров неправильного целеполагания. А парадокс Ахиллеса и черепахи будет актуален до тех пор, пока будет существовать человечество.
