Тангенс угла это отношение чего? Основы тригонометрии

Тригонометрия - это важный для изучения и понимания раздел алгебры и геометрии. Своему зарождению тригонометрия обязана астрономии, ведь именно ученые-астрономы первые начали изучать различные соотношения величин в прямоугольном треугольнике. Само слово "тригонометрия" имеет греческое происхождение и переводится дословно как "измеряю треугольник". В данной статье мы уделим особое внимание вопросу тангенса угла. Это отношение чего к чему?

Определение

Геометрический смысл понятия таков: в контексте прямоугольного треугольника тангенс угла - это отношение катета противолежащего к катету прилежащему. Рассмотрим это отношение на конкретной фигуре для удобства понимания.

прямоугольный треугольник

В данном треугольнике тангенс угла альфа - это отношение С к А. Теперь рассмотрим другой острый угол - β (бета). Для бета тангенс угла - это отношение А к С.

Теперь перейдем к определению тангенса, которое несет алгебраический смысл, для этого нам понадобится единичная окружность.

единичная окружность

Для того чтобы отметить в декартовой системе координат численное значение тангенса необходимо для начала провести прямую х = 1, которая будет перпендикулярна оси абсцисс и параллельна оси ординат. После чего отложим от оси абсцисс угол альфа и продлим его сторону до пересечения с прямой х = 1. Ордината точки пересечения в конкретной ситуации будет являться численным значением тангенса отложенного угла.

С точки зрения алгебры, определение тангенса имеет следующий вид: тангенс угла - это отношение синуса данного угла к его косинусу.

Как связаны тангенс с котангенсом?

Тангенс является обратной функцией от котангенса, а это значит что: tg = 1/ctg. Таким образом, отношение тангенса к котангенсу является равным единице: tg/ctg = 1.

Существует ли связь тангенса с косинусом?

Существует такое тождество, определяющее связь этих двух тригонометрических функций: 1 + tg2 = 1/cos2. Попробуем доказать это тождество, преобразуя его левую часть с помощью алгебраического определения тангенса:

  • 1 + tg2 = 1 + (sin/cos)2

Теперь приведем выражение к общему знаменателю:

  • (cos2 + sin2)/ cos2

Вспомним главное тригонометрическое тождество и упростим выражение, после чего получим:

  • 1/cos2

Эта дробь является равной правой части данного изначально выражения, таким образом мы доказали тождество.

Заключение

Надеемся, что в данной статье мы ответили на все интересующие вас вопросы. Теперь вы можете с уверенностью дать ответ на вопрос: тангенс - это отношение чего к чему, причем используя, как алгебраический, так и геометрический подход. Успехов вам в дальнейшем изучении математики!

Статья закончилась. Вопросы остались?
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Следят за новыми комментариями — 7
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.