Умножение положительных и отрицательных чисел часто вызывает затруднения. Давайте разберемся с правилами и на примерах научимся перемножать числа с разными знаками.
Основы работы с положительными и отрицательными числами
Положительные числа - это числа больше нуля. Они обозначаются знаком "+" или не имеют знака. Например: 5, +15, 0,37.
Отрицательные числа - меньше нуля. Перед ними ставится знак "-". К отрицательным числам относятся: -2, -0,13, -5000.
На координатной прямой положительные числа располагаются правее нуля, отрицательные - левее:
Модуль числа - это его расстояние от нуля на координатной прямой без учета знака. Модуль может быть только положительным.
Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но po разные его стороны. Например, противоположными являются числа 3 и -3.
Правила сложения положительных и отрицательных чисел
При сложении одноименных чисел (с одинаковыми знаками) знаки опускаются, складываются модули, а перед суммой ставится общий знак чисел:
- 5 + 3 = 8
- -7 + (-4) = -11
При сложении разноименных чисел (с разными знаками) знаки опускаются, из большего модуля вычитается меньший, перед разностью ставится знак большего по модулю числа:
- 9 + (-2) = 9 - 2 = 7
- -5 + 3 = -(5 - 3) = -2
Рассмотрим пример сложения положительного и отрицательного числа с пояснением:
Особый случай - сложение любого числа с нулем. Результат при этом не меняется:
- 5 + 0 = 5
- -3 + 0 = -3
Для закрепления решите несколько примеров на сложение положительных и отрицательных чисел:
- -5 + 7
- 6 + (-4)
- -2 + 0
Проверьте себя и убедитесь, что выправильно усвоили правила.
Умножение положительных и отрицательных чисел
При умножении чисел с разными знаками используется следующее правило: положительное число, умноженное на отрицательное, дает отрицательный результат. Формально это можно записать так:
На практике мы просто перемножаем заданные числа, не обращая внимания на знаки, а затем ставим перед произведением знак "минус":
- (-3) • 4 = -12
- 6 • (-5) = -30
Поясним это правило на примере:
При умножении нескольких отрицательных чисел знак произведения зависит от их количества:
- Четное число отрицательных множителей - результат положительный
- Нечетное число отрицательных множителей - результат отрицательный
Например:
- (-2) • (-3) • 4 = 24
- (-7) • 6 • (-5) • (-2) = -210
Теперь потренируемся решать примеры на умножение положительных и отрицательных чисел. Вспомните правила и будьте внимательны с знаками:
- -5 • 3
- 4 • (-2)
- -3 • (-4) • 6
Чтобы не ошибиться в знаке произведения, рекомендую записывать числа в столбик и следить за количеством минусов.
Таким образом, мы разобрались с основными правилами умножения положительных и отрицательных чисел. Потренируйтесь на примерах, и эти правила войдут в привычку.
Типовые задачи на умножение положительных и отрицательных чисел
Рассмотрим несколько типовых задач, которые можно решить с помощью умножения положительных и отрицательных чисел.
Задачи на движение в противоположных направлениях
В этих задачах объекты движутся навстречу друг другу или в разных направлениях на координатной прямой. Например:
Велосипедист проехал 5 км на восток, затем повернул и проехал 3 км на запад. На какое расстояние он удалился от начальной точки?
Решение: движение на восток обозначим как +5 км, на запад как -3 км. Тогда по правилу умножить отрицательное число положительное получаем: (+5) • (-3) = -15 (км).
Задачи на работу в противоположных направлениях
Здесь сила может прилагаться в разные стороны. К примеру:
Трос может выдержать нагрузку в 120 кН. Какую нагрузку выдержит трос, если его растягивают с двух концов с силами 80 кН и 60 кН в противоположные стороны?
Решение: силы действуют в разные стороны, поэтому одну запишем со знаком "+", другую "-": (+80 кН) + (-60 кН) = 80 - 60 = 20 кН. Трос выдержит такую нагрузку.
Задачи на температуру
В задачах на изменение температуры используем:
- Положительное число - нагревание
- Отрицательное число - охлаждение
Например:
Температура воздуха понизилась на 5°C, затем повысилась на 3°C. На сколько градусов изменилась температура?
Решение: охлаждение -5°C, нагревание +3°C. Применяем правило: (-5) • (+3) = -15°C. Температура понизилась на 15°C.
Задачи с отрицательными величинами
Сюда относятся задачи на нахождение долга, глубины под землей и других отрицательных величин. Пример:
Петя взял в долг у Васи 2000 рублей. Через неделю он отдал Васе 500 рублей. Сколько Петя должен Васе?
Решение: долг обозначаем "-2000 руб.", возврат долга "+500 руб. умножить отрицательное число положительное По правилу: (-2000) • 500 = -1500 (руб.) - долг Пети Васе.
Задачи на произведение размеров фигур
Если размер фигуры отрицательный, то при умножении получится отрицательная площадь или объем. Например, площадь прямоугольника со сторонами -2 см и 5 см равна (-2) • 5 = -10 см2.
Закрепление изученного материала
Для закрепления правил умножения положительных и отрицательных чисел решите следующие задачи:
- Теплоход прошел 20 км вверх по течению реки, затем повернул и прошел 15 км вниз по течению. На какое расстояние он оказался от исходной точки?
- С одного конца стержня действует сила 30 Н. С другого конца к стержню прикладывают силу 20 Н в противоположном направлении. Какова равнодействующая этих сил?
- Температура воздуха повысилась на 8°C, затем понизилась на 12°C. На сколько градусов понизилась температура?
Сравните свои решения с ответами, данными ниже.
Ответы
- 20 км вверх по течению - +20 км, 15 км вниз по течению - -15 км. По правилу: (+20) • (-15) = -300 (км). Расстояние от исходной точки - 300 км.
- Силы действуют в разных направлениях: +30 Н и -20 Н. (+30 Н) + (-20 Н) = 30 - 20 = 10 H. Равнодействующая сил равна 10 Н.
- Повышение температуры +8°C, понижение -12°C. (+8) • (-12) = -96°C. Температура понизилась на 96°C.
Если вы допустили ошибки, вернитесь к правилам умножения положительных и отрицательных чисел. Потренируйтесь на дополнительных примерах, пока не будете уверенно решать задачи с отрицательными числами.
