Векторы, эти направленные отрезки, кажутся на первый взгляд простым объектом. Однако умелое обращение с ними открывает удивительные возможности в геометрии, физике и других науках.
Существует несколько видов векторов, обладающих различными свойствами. Рассмотрим основные из них.
Коллинеарные и неколлинеарные векторы
Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой. Все остальные векторы являются неколлинеарными. Это важное свойство часто используется при решении задач.
Например, если нужно найти результирующий вектор от сложения нескольких, то удобнее предварительно разложить вектора на коллинеарные составляющие.
Равенство векторов
Чтобы векторы считались равными, они должны удовлетворять трем условиям:
- Быть коллинеарными
- Иметь одинаковую длину
- Быть сонаправленными
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, векторы будут неравны.
Свободный вектор
Еще один тип - свободный вектор . Его можно считать обобщенным понятием обычного вектора. У свободного вектора концы не закреплены в пространстве.
Свободный вектор может перемещаться параллельно самому себе. При этом его длина и направление остаются неизменными.
Теперь рассмотрим, как можно складывать и вычитать векторы в геометрическом пространстве.
Сложение векторов
Существует два основных метода:
- Метод треугольника
- Метод параллелограмма
При использовании метода треугольника векторы складываются конец в начало, а в методе параллелограмма векторы выходят из одной точки.
Оба метода дают один и тот же результат. Выбор зависит от удобства в конкретной задаче.
Чтобы вычесть один вектор из другого, нужно к вычитаемому вектору прибавить вектор, равный по модулю, но противоположно направленный.
Координатный метод задания векторов
Помимо геометрического представления, вектор можно задать его координатами в выбранной системе координат. Это открывает новые возможности.
Формулы для вычисления координат вектора
Рассмотрим вектор AB с началом в точке A(x1, y1) и концом в точке B(x2, y2). Его координаты вычисляются по формулам:
Аналогично можно найти координаты вектора и в трехмерном пространстве.
Имея координаты векторов, можно выполнять сложение и вычитание с помощью простых формул:
Где Ax, Ay - координаты 1-го вектора, Bx, By - 2-го вектора, а Cx, Cy - их суммы или разности.
Разложение вектора по базисным векторам
Любой вектор в трехмерном пространстве можно представить как линейную комбинацию трех базисных векторов. Это позволяет упростить многие вычисления.
Например, пусть задан вектор A. Тогда:
Где Ax, Ay, Az - координаты вектора A, а e1, e2, e3 - базисные векторы прямоугольной системы координат.
Особенности прямоугольной СК
В декартовой (прямоугольной) системе координат базисные векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Это упрощает вычисления.
Например, скалярное произведение базисных векторов равно нулю:
А их векторное произведение приводит к третьему базисному вектору:
Примеры задач в прямоугольной СК
Рассмотрим несколько примеров действий с векторами в декартовой системе координат.
- Найти длину вектора A(3, 4, -2)
- Сложить векторы B(1, 5, 7) и C(-3, 1, 2)
- Проверить ортогональность векторов D(2, 0, 4) и E(0, 3, 0)
Подробные решения можно посмотреть в следующих разделах.
Длина вектора - важная характеристика, позволяющая сравнивать векторы между собой. Рассмотрим основные способы ее нахождения.
Длина вектора через его координаты
Если известны координаты вектора (x, y, z), то его длину можно найти по формуле.
Часто в задачах вектор задан координатами своего начала (x1, y1, z1) и конца (x2, y2, z2). Тогда его длину можно вычислить так:
Данная формула выводится из теоремы Пифагора.
Применение теоремы косинусов
Еще один способ - использовать теорему косинусов:
Где α - угол между векторами a и b.
Достоинство этого метода в том, что он позволяет находить не только длину, но и угол между векторами.
Помимо сложения и вычитания, над векторами можно выполнять и другие операции, расширяющие их применение.
Умножение вектора на число
Любой вектор можно умножить на число, в результате получится вектор того же направления, но другой длины:
Здесь λ - произвольное число, а A - исходный вектор.
Векторное произведение
В отличие от скалярного, векторное произведение дает вектор:
Он перпендикулярен обоим исходным векторам и его модуль равен площади параллелограмма, образованного ими.
Векторы широко используются в различных областях физики, поскольку многие физические величины имеют векторный характер.
