Как определить четность функции: основные критерии и методы
Четность функции - важное понятие математического анализа. Как правильно определить, является ли функция четной, нечетной или функцией общего вида? В этой статье мы разберем основные критерии, методы и практические советы.
1. Основные определения и свойства четных и нечетных функций
Дадим строгие определения:
Функция
Copy codey=f(x)называется четной, если для любого значения x выполняется равенство:f(-x) = f(x)Функция
y=f(x)называется нечетной, если для любого значения x выполняется равенство:f(-x) = -f(x)
Если функция не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.
Из определений следуют важные свойства симметрии графиков:
- График четной функции симметричен относительно оси OY
- График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0)
Чтобы исследовать функцию y=f(x) на четность или нечетность, нужно:
- Заменить в ней x на -x:
f(-x) = ...
- Проверить выполнение равенств:
- Для четной:
f(-x) = f(x)- Для нечетной:
f(-x) = -f(x)
Рассмотрим типовые примеры:
- Четные функции:
y=x2,y=cos x - Нечетные функции:
y=x,y=sin x - Функция общего вида:
y=x3+2
В таблице приведена четность основных элементарных функций:
| Функция | Четность |
| y = xn, n - четное | Четная |
| y = xn, n - нечетное | Нечетная |
| y = sin x | Нечетная |
| y = cos x | Четная |
| y = tg x | Нечетная |
| y = ctg x | Нечетная |
Далее мы разберем несколько методов, как определить четность более сложных функций.
2. Как определить четность сложной функции
При определении четности составной функции нужно учитывать четность ее составляющих. Рассмотрим несколько случаев:
- Сумма функций - если слагаемые четные, то и сумма четная. Если хотя бы одно слагаемое нечетное, сумма нечетная.
- Произведение функций - если сомножители одной четности (оба четные или оба нечетные), произведение четно. Если разной четности - нечетно.
- Функция вида
y = af(kx + b) + c- ее четность зависит от параметров a, b, c, k. Разберем подробнее на примерах далее.
Рассмотрим функцию вида y = a·sin(kx+b)+c и выясним, какие параметры влияют на ее четность:
- a - множитель перед функцией. Если a > 0, четность не меняется. Если a < 0, меняется на противоположную.
- k - множитель аргумента. На четность не влияет.
- b - сдвиг аргумента. Если b = 0 или π, сохраняет четность. Иначе меняет.
- c - сдвиг по вертикали. На четность не влияет.
Рассмотрим несколько примеров определения четности таких функций:
Пример 1. Определить четность функции:
y = -3·cos(2x)
Решение. Исходная функция cos x - четная. При умножении на отрицательное число a = -3 четность меняется на противоположную. Значит, итоговая функция нечетная.
Пример 2. Определить четность функции:
y = tg(5x + π)
Решение. Исходная функция tg x - нечетная. Сдвиг аргумента на π меняет четность на противоположную. Значит, итоговая функция четная.
Аналогично можно исследовать четность любой тригонометрической функции вида y = af(kx + b) + c. Это пригодится, например, при построении и исследовании графиков.
Если функция задана графически или таблично, ее четность можно определить визуально:
- По симметрии графика относительно оси OY - четная
- По симметрии графика относительно точки (0; 0) - нечетная
- По значениям функции при замене x на -x в таблице
Например, на рисунке изображен график функции y = |x| + 2. Видна его симметрия относительно начала координат. Значит, функция нечетная.
Итак, мы узнали несколько способов, как определить четность сложной функции - по четности составляющих, по параметрам, графически и таблично. Эти знания обязательно пригодятся в дальнейшем.
3. Применение свойств четности на практике
Свойства четности и нечетности функций часто используются для упрощения решения различных задач. Рассмотрим несколько примеров:
- Вычисление значений функции. Используя периодичность sin x и cos x, можно значительно сократить вычисления:
sin(-270°) = -sin(90°) = -1 cos(720°) = cos(0°) = 1 - Построение графиков. Зная четность функции, можно быстро найти точки пересечения с осями координат.
- Решение уравнений и неравенств. Четность помогает найти полное множество корней. Например:
tg(x) = 1 x = π/4 + kπ, где k - целое Дополнительно: x = -π/4 + kπ - Оптимизационные задачи. Четность упрощает поиск экстремумов функции.
Как видите, знание свойств четности весьма полезно и находит широкое применение на практике.