Уравнение Бернулли для газов: формулы, правила расчетов, проявление и применение

Уравнение Бернулли - удивительное уравнение, позволяющее предсказывать поведение газов в потоке. Оно было открыто швейцарским математиком Даниилом Бернулли почти 300 лет назад, но до сих пор актуально и находит множество практических применений в науке и технике. Давайте разберемся в тайнах этого знаменитого уравнения!

История открытия уравнения Бернулли для газов

В 1738 году швейцарский математик Даниил Бернулли опубликовал работу "Гидродинамика" , в которой впервые сформулировал уравнение, связывающее скорость потока жидкости с ее давлением. Это уравнение впоследствии получило название уравнения Бернулли.

Согласно уравнению Бернулли, с увеличением скорости потока давление в нем падает, и наоборот.

Первоначально уравнение выводилось для несжимаемых жидкостей. Однако уже в 18 веке математики Иоганн Бернулли и Леонард Эйлер распространили его действие и на текучие среды, в частности - на газы. Правда, для газов необходимо было учитывать их сжимаемость.

Физический смысл уравнения Бернулли

В своей основе уравнение Бернулли для газов является выражением закона сохранения энергии для потока газа. Оно показывает, что сумма кинетической, потенциальной и энергии давления остается постоянной в любой точке потока:

• Кинетическая энергия зависит от скорости потока
• Потенциальная энергия зависит от высоты расположения точки потока
• Энергия давления определяется давлением газа в точке

Таким образом, согласно уравнению, в точках с бОльшим давлением скорость потока меньше, и наоборот. Это объясняет, например, как получается подъемная сила крыла самолета.

Уравнение Бернулли для идеального газа

Идеальный газ - это теоретическая модель, используемая в термодинамике. Согласно молекулярно-кинетической теории, идеальный газ состоит из хаотически движущихся молекул, не взаимодействующих друг с другом.

Для вывода уравнения Бернулли обычно используют ряд допущений об идеальности газа и условиях его течения. Например:

1. Газ невязкий и не теплопроводный
2. Поток газа стационарный (параметры не меняются со временем)
3. Плотность газа мала и изменения давления невелики

При этих допущениях уравнение Бернулли для потока идеального газа имеет классический вид:

Здесь р - плотность газа, v - скорость потока, g - ускорение свободного падения, h - высота точки потока, P - давление газа, P₀ - постоянная величина (полное давление).

Условия применимости уравнения к реальным газам

В отличие от идеального газа, реальные газы обладают дополнительными свойствами, которые необходимо учитывать при использовании уравнения Бернулли.

В частности, реальные газы:

• Могут конденсироваться при понижении температуры
• Имеют не нулевую объемность молекул
• Взаимодействуют между собой на больших расстояниях

Эти факторы накладывают ограничения на применимость классического уравнения Бернулли.

Корректировка уравнения Бернулли реальных газов

Для более точного описания течения реальных газов используется производная уравнения Бернулли.

Здесь добавлены слагаемые, учитывающие изменение плотности газа со временем и в пространстве, а также другие факторы.

Уравнение Бернулли сжимаемого газа

В отличие от несжимаемых жидкостей, сжимаемые газы могут значительно менять свою плотность и внутреннюю энергию в потоке.

Для сжимаемых газов таких как воздух, уравнение Бернулли можно записать в температурной форме:

Здесь Т - температура газа, v - скорость потока, С_v - теплоемкость при постоянном объеме.

Влияние сжимаемости на скорость звука

Сжимаемость газа определяет скорость распространения звуковых волн в нем. Чем выше сжимаемость, тем ниже скорость звука.

Для сжимаемого газа скорость звука связана с давлением, плотностью и теплоемкостью соотношением:

Где р - плотность газа, P - давление, γ - показатель адиабаты (для воздуха 1.4).

Число Маха и сжимаемость потока

В аэродинамике вводится безразмерный параметр - число Маха, равный отношению скорости потока к местной скорости звука.

При Махе меньше 1 поток считается дозвуковым, при Махе больше 1 - сверхзвуковым. Сжимаемость газа влияет на переход через скорость звука.

Особенности сверхзвуковых течений

При сверхзвуковом обтекании тела возникают ударные волны, резко меняющие параметры потока. За фронтом ударной волны газ замедляется до дозвуковых скоростей.

Ударные волны могут существенно влиять на аэродинамические характеристики летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковыми скоростями.

Нестационарные течения реального газа

Если параметры потока газа меняются со временем, течение называется нестационарным. В этом случае необходимо использовать нестационарные уравнения газовой динамики.

Нестационарные течения характерны для многих технических устройств - двигателей, эжекторов, переменных сопел и других.

Методы моделирования нестационарных течений

Для моделирования нестационарных течений реальных газов используются численные методы газовой динамики:

• Метод конечных разностей
• Метод конечных объемов
• Метод конечных элементов

Эти методы позволяют получить приближенное решение для параметров потока (скорость, давление, плотность и т.д.) в различные моменты времени.

Достоинства численного моделирования:

• Учет сложных физических эффектов
• Моделирование реальных конструкций
• Визуализация и анализ результатов

Недостатки численного моделирования:

• Большие вычислительные затраты
• Накопление погрешностей
• Сложность верификации результатов

Экспериментальные методы исследований

Наряду с расчетами, для изучения нестационарных течений применяются экспериментальные методы:

1. Измерение параметров потока датчиками
2. Визуализация методами PIV и PTV
3. Исследования на аэродинамических трубах

Эксперименты необходимы для верификации расчетных моделей и получения данных в реальных условиях.

Особенности PIV метода визуализации

PIV (Particle Image Velocimetry) - метод визуализации и измерения скоростей потока жидкости или газа с помощью трассерных частиц и камеры.

Преимущества PIV:

• Неинвазивность
• Высокая точность
• Получение мгновенных полей скоростей

К недостаткам PIV относятся:

• Сложная настройка оптики
• Большие объемы данных

PTV - сходный подход

PTV (Particle Tracking Velocimetry) - метод отслеживания индивидуальных частиц в потоке. Позволяет восстановить траектории движения.

CFD моделирование течений

CFD (Computational Fluid Dynamics) - численные методы механики жидкостей и газов, позволяющие моделировать различные эффекты.

Преимущества CFD:

• Моделирование сложных явлений
• Визуализация и анализ результатов

К недостаткам относят высокую трудоемкость и сложность верификации.

Перспективы развития методов

Дальнейшее развитие экспериментальных оптических и CFD подходов позволит точнее моделировать нестационарные течения реальных газов, учитывать дополнительные физические эффекты.