Теорема Гаусса-Остроградского для электростатического поля и заряда
Теорема Остроградского-Гаусса устанавливает количественную связь между электростатическим полем и распределением электрических зарядов, его создающих. Эта фундаментальная теорема позволяет вычислить поле по известному распределению зарядов и наоборот.
История открытия теоремы Гаусса-Остроградского
Теорема была сформулирована в общем виде для произвольного векторного поля выдающимся русским математиком Михаилом Васильевичем Остроградским (1801-1861).
Впервые теорема применительно к электростатическому полю была доказана немецким математиком и физиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855).
Теорема Гаусса в электростатике гласит: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален полному электрическому заряду, заключенному внутри этой поверхности.
Эта теорема позволила Гауссу создать стройную математическую теорию электростатики. Поэтому ее часто также называют теоремой Гаусса .
Сейчас установлено, что М.В. Остроградский сформулировал эту теорему раньше Гаусса, поэтому правильнее говорить о теореме Остроградского-Гаусса .
Формулировки теоремы Гаусса-Остроградского
Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля может быть записана несколькими способами.
В интегральной форме:
где E - напряженность электростатического поля, S - замкнутая поверхность, Q - полный заряд внутри этой поверхности.
В дифференциальной форме:
где ρ - плотность электрического заряда.
Теорему Остроградского-Гаусса можно также сформулировать для потока вектора электрического смещения D.
Доказательства теоремы Гаусса-Остроградского
Существует несколько способов доказательства теоремы Остроградского-Гаусса для электростатического поля.
Элементарное доказательство
- Доказывается теорема для одного точечного заряда с использованием закона Кулона
- Затем по принципу суперпозиции теорема обобщается на случай многих зарядов
Более формальное доказательство
Исходят из дифференциальной формы теоремы и принципа суперпозиции, затем применяют интегральную теорему Гаусса-Остроградского.
Для полноты доказательства нужно сделать дополнительные предположения о симметрии поля.
Исторически теорема Гаусса была выведена из экспериментально установленного закона Кулона и поэтому может рассматриваться как его следствие.
Однако современная теория электродинамики часто берет теорему Остроградского-Гаусса в качестве одного из основных постулатов, так как она является более общей и фундаментальной.
Применения теоремы Гаусса-Остроградского
Теорема Остроградского-Гаусса широко используется в электростатике для решения различных задач.
Вывод закона Кулона
Из теоремы Гаусса можно получить классический закон Кулона для поля точечного заряда. Для этого рассматривают сферическую поверхность вокруг точечного заряда и вычисляют поток вектора E через нее.
Получение уравнения Пуассона
Совместно с уравнением отсутствия вихрей ротора E и выражением E через потенциал, теорема Гаусса позволяет получить уравнение Пуассона - основное уравнение электростатики.
Расчеты полей простой конфигурации
Благодаря симметрии задачи иногда удается напрямую вычислить поле, используя теорему Гаусса. Это возможно для полей сферической, цилиндрической или плоской симметрии.
Определение заряда через поток поля
Величина точечного заряда может быть определена как предел потока E через сферическую поверхность при стремлении ее радиуса к нулю. Таким образом, теорема Гаусса дает определение заряда.
Аналоги и обобщения теоремы
Существуют различные аналоги и обобщением теоремы остроградского гаусса электростатического поля.
Магнитостатическая теорема
Для магнитного поля справедлива аналогичная теорема Гаусса, однако поток вектора магнитной индукции B через замкнутую поверхность всегда равен нулю.
Гравитационная теорема Гаусса
Существует теорема Гаусса и для гравитационного поля, которая связывает напряженность поля с массой внутри рассматриваемой поверхности.
Теорема Гаусса в искривленном пространстве
Теорему Остроградского-Гаусса можно обобщить на случай пространства с искривлением, например поверхности сферы.
Теорема Гаусса для произвольного числа измерений
Существует обобщение теоремы на случай пространства с любым числом измерений. При этом степень расстояния в законе Кулона определяется размерностью пространства.
Перспективы дальнейшего обобщения
Возможно дальнейшее обобщение теоремы Гаусса-Остроградского, например для нестационарных полей или в рамках квантовой теории.
Квантовые обобщения теоремы Гаусса-Остроградского
В рамках квантовой теории поля также существует аналог теоремы Гаусса, связывающий поток калибровочного поля через поверхность с зарядом внутри нее.
Калибровочная инвариантность
Квантовая теорема Гаусса задает калибровочную инвариантность квантовой теории относительно локальных преобразований симметрии.
Квантование заряда
В отличие от классического случая, в квантовой теории заряд квантуется, то есть принимает дискретный спектр значений.
Кварковая структура адронов
Квантовая хромодинамика позволяет описать внутреннюю кварковую структуру адронов с помощью обобщения теоремы Гаусса на неабелевы калибровочные группы.
Нестационарные обобщения
Теорема Гаусса для переменных полей
Существует обобщение теоремы Гаусса на случай нестационарных электромагнитных полей, удовлетворяющих уравнениям Максвелла.
Зависимость от времени
В этом случае поток вектора E через поверхность зависит также и от времени, что отражает возможность накопления или убыли заряда со временем.
Гравитационные обобщения
Общая теория относительности
В общей теории относительности теорема Гаусса обобщается на искривленное пространство-время и неевклидову геометрию.
Гравитационный заряд
Роль электрического заряда играет гравитационный заряд — масса. Теорема связывает гравитационное поле с распределением массы.