Свойство транзитивности: в чем суть?
Знаете ли вы, что сухие математические понятия могут объяснить результат хоккейного матча? Давайте разберемся, что за зверь такой "свойство транзитивности" и почему оно важно не только для математиков, но и всех нас.
Что такое свойство транзитивности
Свойство транзитивности относится к бинарным отношениям. Бинарное отношение - это отношение между парами элементов некоторого множества. Например, отношение "больше" между числами или отношение "дружит с" между людьми.
Транзитивным называется такое бинарное отношение R на множестве X, что если aRb и bRc для элементов a,b,c из X, то выполняется и aRc. Иными словами, если a связано отношением R с b, а b связано тем же отношением R с c, то и a связано отношением R с c. Это похоже на цепочку связей.
- Например, отношение "больше" транзитивно: если 2 > 1 и 1 > 0, то 2 > 0
- А вот отношение "любит" не является транзитивным: Аня любит Борю Боря любит Веру Но из этого не следует, что Аня любит Веру
Противоположностью транзитивности является антитранзитивность. Антитранзитивным называют отношение, у которого транзитивность не выполняется ни для каких троек элементов из рассматриваемого множества. Пример антитранзитивного отношения - "победил в спортивном матче". Если А победил Б, а Б победил В, не значит что А победил В.
Где применяется свойство транзитивности
Несмотря на сухое математическое определение, свойства транзитивности находит широкое применение в различных областях:
- Математика и логика
- Компьютерные науки
- Социология и психология
- Биология
- Лингвистика
- Экономика
- Другие сферы
Рассмотрим некоторые примеры подробнее.
Математика и логика
В математике транзитивность часто встречается при изучении бинарных отношений, таких как:
- Отношения порядка (<, ≤)
- Отношения делимости чисел
- Отношения равенства (=)
Транзитивно и отношение принадлежности между множествами. Например:
- Множество A содержится в множестве B
- Множество B содержится в множестве C
- Значит, множество A содержится и в множестве C (транзитивность)
В логике транзитивность проявляется в логических отношениях следования и эквивалентности:
- Если A следует из B, а B следует из C, то A следует из C
- Если A логически эквивалентно B, а B логически эквивалентно C, то A эквивалентно C
Так проявляется универсальность законов логики.
Компьютерные науки
В программировании транзитивность часто используется при сравнении версий ПО. Например, если:
- Версия 1.2 новее версии 1.1
- Версия 1.3 новее версии 1.2
То транзитивно выводится, что версия 1.3 новее версии 1.1.
Это позволяет упростить логику сравнения версий в коде.
Свойства отношений симметричность транзитивность
Симметричность - это совсем другое свойство бинарных отношений. Оно означает, что если элемент a связан отношением R с элементом b, то и элемент b связан тем же отношением R с a.
В отличие от транзитивности, симметричность рассматривает только пары элементов, а не цепочки. Пример симметричного отношения - "женат с" между людьми. Если А женат на Б, то и Б жената на А.
Как видно из примеров, симметричность и транзитивность - совершенно разные свойства. Их можно комбинировать. Например, отношение равенства является и симметричным, и транзитивным.
Психология и социология
В социальных науках транзитивность часто проявляется в межличностных отношениях и социальных взаимодействиях.
Например, транзитивным является отношение "доверяет":
- Аня доверяет Боре
- Боря доверяет Вере
- Скорее всего Аня тоже будет доверять Вере
То же касается отношений типа "дружит с" и "симпатизирует":
- Друзья наших друзей часто становятся и нашими друзьями
- Если человек нравится нашему другу, то он скорее всего понравится и нам
Триады
Интересный случай в социологии - "триады" . Это группы из трех человек и отношения между ними. Социологи изучают разные конфигурации триад - с 2 связями, с 1 связью и без связей:
| Два друга + незнакомец |
| Три друга |
| Два незнакомца + посредник между ними |
Баланс и транзитивность в таких триадах влияют на их устойчивость. Например, классический вариант "два друга плюс третий лишний" является достаточно стабильным.
Баланс теории
В психологии существует "баланс теория", разработанная социальным психологом Фрицем Хайдером. Она описывает стремление людей к гармоничным, сбалансированным отношениям с окружающими.
Основная идея в том, что положительные и отрицательные отношения между людьми должны располагаться симметрично для психологической стабильности.