Кольцо вычетов: теоремы и применение

Кольцо вычетов - удивительный математический объект, позволяющий работать с числами по модулю. Эта конструкция широко используется в теории чисел, криптографии, информатике. В статье мы познакомимся с определением, свойствами и применениями колец вычетов. Узнаем интересные теоремы и алгоритмы. Разберем примеры вычислений по модулю. Поймем, как колечко вычетов помогает в защите информации и передаче сообщений.

Определение кольца вычетов

Кольцо вычетов строится на основе понятия сравнения чисел по модулю. Два целых числа называются сравнимыми по модулю натурального числа n, если при делении на n они дают одинаковые остатки.

Например,
5 сравнимо с 10 по модулю 3, т.к. остатки от деления равны 2. 9 сравнимо с 3 по модулю 2, т.к. остатки от деления равны 1.

Множество всех чисел, сравнимых с данным числом a по модулю n, называется классом вычетов [a] и обозначается:

[a] = {..., a - 2n, a - n, a, a + n, a + 2n,...}

Легко видеть, что классов вычетов по модулю n может быть не больше n. Они образуют множество Zn, которое называется кольцом вычетов по модулю n.

Пример вычисления в кольце вычетов

Рассмотрим кольцо вычетов по модулю Z₅. Оно состоит из классов:

• [0] = {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}
• [1] = {..., -9, -4, 1, 6, 11, ...}
• [2] = {..., -8, -3, 2, 7, 12, ...}
• [3] = {..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}
• [4] = {..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

Выполним сложение в этом кольце: [3] + [2] = [5] по модулю 5, т.е. [0]. А умножение: [2] × [3] = [6] по модулю 5, т.е [1].

Свойства и теоремы

При определении сложения и умножения в кольце вычетов используются обычные арифметические операции. Поэтому выполняются свойства:

• Коммутативность сложения и умножения;
• Ассоциативность сложения и умножения;
• Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Это означает, что кольцо вычетов по модулю n является коммутативным кольцом. Для него справедливы интересные теоремы.

Теорема Эйлера

Пусть a - целое число, взаимно простое с модулем n. Тогда справедливо равенство:

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

где φ(n) - функция Эйлера, подсчитывающая количество натуральных чисел, взаимно простых с n и меньших n.

Например, для n = 15 имеем:

2⁸ = 256 ≡ 1 (mod 15) 3⁸ = 6561 ≡ 1 (mod 15)

Поскольку φ(15) = 8.

Малая теорема Ферма

Это частный случай теоремы Эйлера для простого модуля p:

Если p - простое число, то a^p-1 ≡ 1 (mod p) для любого целого a, взаимно простого с p.

Например, для p = 7:

2⁶ ≡ 1 (mod 7) 3⁶ ≡ 1 (mod 7)

Делимость в кольце вычетов

Понятие делимости чисел естественным образом переносится в кольцо вычетов. Говорят, что a делит b по модулю n, если существует такое c, что:

b ≡ ac (mod n)

Для проверки делимости в кольце вычетов используется алгоритм Евклида. С его помощью также можно найти обратный элемент - то есть решить уравнение:

ax ≡ 1 (mod n)

Это позволяет решать в кольце вычетов линейные и даже квадратные уравнения. Рассмотрим пример.

Пример решения уравнения в кольце вычетов

Решим в кольце вычетов по модулю 11 уравнение:

5x ≡ 7 (mod 11)

Сначала найдем обратный элемент для 5. Используя алгоритм Евклида, получаем:

5^-1 ≡ 9 (mod 11)

Умножая левую и правую часть исходного уравнения на 9, находим:

x ≡ 63 ≡ 5 (mod 11)

Проверка:

5 × 5 ≡ 25 ≡ 7 (mod 11)

Ответ верный.

Как уже отмечалось, в кольце вычетов можно решать различные уравнения. Рассмотрим еще один пример.

Решение квадратного уравнения в кольце вычетов

Найдем все решения уравнения:

x² ≡ 3 (mod 11)

Для этого воспользуемся теоремой Эйлера. Подставляя в нее a = 3 и n = 11, получаем:

3¹⁰ ≡ 1 (mod 11)

Возводя левую и правую части исходного уравнения в пятую степень, находим:

x¹⁰ ≡ 9 (mod 11)

Из теоремы Эйлера следует, что x¹⁰ ≡ x (mod 11). Значит:

x ≡ 9 ≡ 4 (mod 11)

А так как уравнение квадратное, то вторым решением является:

x ≡ -4 ≡ 7 (mod 11)

Кольцо вычетов в криптографии

Свойства кольца вычетов активно используются в криптографии - науке о методах шифрования и передачи секретных сообщений.

Шифр Цезаря

Одним из простейших шифров является шифр Цезаря. Суть его работы в следующем:

1. Берется некоторое число K (1 ≤ K ≤ 25)
2. Каждая буква открытого текста заменяется буквой, находящейся на K позиций левее нее в алфавите с учетом цикличности (после Z идет А)

На самом деле, это простое вычисление по модулю 26. Этот шифр легко взламывается перебором всех 25 вариантов ключа K.

Шифр Виженера

Более сложный полиалфавитный шифр, использующий циклические свойства кольца вычетов. Несмотря на кажущуюся стойкость, уязвим перед статистическими методами дешифровки.

Вычисления по модулю в информатике

В компьютерных вычислениях часто требуется работать с ограниченным набором чисел, например, от 0 до 65535 или от -32768 до 32767. Здесь на помощь приходят кольца вычетов.

Представление отрицательных чисел

Для хранения знаковых чисел используется модуль 2ⁿ, где n - разрядность представления. Тогда положительные значения кодируются напрямую, а отрицательные - как 2ⁿ минус модуль отрицательного числа. Например, для 8-битных чисел используется кольцо вычетов по модулю 256:

Быстрые алгоритмы по модулю

В кольце вычетов существуют эффективные алгоритмы умножения, возведения в степень, извлечения корня, позволяющие значительно ускорить вычисления по сравнению с обычной арифметикой.

Идея цикличности, заложенная в определение кольца вычетов, позволяет строить и другие полезные математические объекты.

Кольцо вычетов для многочленов

Понятие вычетов можно обобщить на многочлены. Два многочлена называются сравнимыми по модулю неприводимого многочлена p(x), если их разность делится на p(x). Это позволяет ввести операции сложения и умножения классов вычетов многочленов по аналогии с обычным кольцом вычетов.

p-адические числа

Если в качестве модуля взять простое число p и допустить неограниченный рост степеней p, то получится p-адическое число. Такие числа образуют поле, обладающее необычными свойствами.

Кольцо Гаусса

Это кольцо вычетов по модулю вида 2^2k + 1, где k - натуральное число. Оно используется в теории чисел, поскольку позволяет строить простые числа нужной формы.

Несмотря на простоту определения, понятие кольца вычетов было введено в математику не сразу.

Работы Ферма и Эйлера

Первые результаты, связанные с вычетами, получили Ферма и Эйлер в 17 веке. Однако систематической теории еще не сложилось.

Вклад Гаусса

Гаусс в начале 19 века создал стройную теорию вычетов, доказав основные теоремы. Он же ввел обозначение сравнений по модулю.