Матрицы и их ранг - важная тема в математике. Умение находить ранг матриц пригодится в решении систем линейных уравнений, при определении совместности и количества решений. В этой статье расскажем, как самостоятельно научиться находить ранг матрицы несколькими способами.
1. Основные понятия о ранге матрицы
Ранг матрицы - это числовая характеристика матрицы, обозначаемая как Rank(A), Rang(A) или Rg(A). Ранг показывает количество линейно-независимых строк или столбцов в матрице.
Ранг матрицы тесно связан с понятиями минора и определителя (детерминанта). Минор - это матрица меньшего размера, полученная из исходной матрицы вычеркиванием строки и столбца. Определитель - число, характеризующее свойства матрицы.
Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.
Также ранг матрицы имеет важное значение при решении систем линейных уравнений (СЛУ). Он позволяет определить:
- Является ли система совместной, т.е. имеет ли она решение
- Сколько решений имеет система - единственное или бесконечное множество
2. Нахождение ранга матрицы методом миноров
Одним из наиболее распространенных способов вычисления ранга матрицы является метод окаймляющих миноров. Для его применения используется следующая теорема:
| Ранг матрицы равен порядку наибольшего из ее окаймляющих миноров, не равных нулю. |
Где окаймляющий минор - это минор матрицы, полученный вычеркиванием крайней строки и крайнего столбца.
Алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров таков:
- Находим минор второго порядка путем вычеркивания первой строки и первого столбца
- Если минор не равен нулю, то окаймляем его, получая 4 новых минора третьего порядка
- Проверяем новые окаймляющие миноры на неравенство нулю
- Продолжаем процесс, пока возможно по размерам матрицы
Пример. Найдем ранг матрицы:
Решение:
- Находим минор второго порядка, вычеркнув первую строку и первый столбец:
- Минор не равен 0, значит окаймляем его. Получаем 4 окаймляющих минора третьего порядка:
- Все миноры третьего порядка не равны 0
- По размерам матрицы далее окаймляющие миноры строить нельзя
Так как наибольший порядок ненулевого окаймляющего минора равен 3, то Rank(A) = 3.
найдите ранг матрицы также можно методом полного перебора всех миноров заданной матрицы. Но этот способ менее эффективен, так как...
как находить ранг матрицы для чайников? В следующем разделе рассмотрим универсальный метод Гаусса.
Продолжение метода миноров
Метод полного перебора миноров матрицы заключается в последовательном вычислении всех возможных миноров заданной матрицы различных порядков - от 1 до n, где n - порядок самой матрицы. К недостаткам этого метода можно отнести:
- Большая вычислительная сложность при увеличении размеров матрицы
- Необходимость перебрать все миноры, в том числе и нулевые
Поэтому на практике чаще используют метод окаймляющих миноров как более эффективный.
Сравнение двух методов
Давайте сравним основные характеристики двух рассмотренных методов:
Метод окаймляющих миноров
- Вычисляет только "крайние" миноры
- Имеет четкий алгоритм действий
- Относительно прост в реализации
Метод полного перебора всех миноров
- Требует перебрать абсолютно все миноры матрицы
- Вычислительная сложность экспоненциально растет с размером матрицы
- Применим только для небольших матриц
Таким образом, метод окаймляющих миноров имеет несомненные преимущества и рекомендуется для практического применения.
Метод Гаусса
найдите ранг матрицы также можно с помощью метода Гаусса, заключающегося в поэтапном преобразовании матрицы к ступенчатому виду.
Суть метода в том, что в процессе преобразований:
- Выявляются линейно зависимые строки
- Определяется количество линейно независимых строк
А это количество и есть ранг матрицы. Рассмотрим алгоритм метода Гаусса подробнее.
Алгоритм метода Гаусса
Пошаговый алгоритм действий следующий:
- Выполняем ряд элементарных преобразований над матрицей
- Приводим матрицу к ступенчатому виду
- найти ранг матрицы подробным решением: подсчитываем количество ненулевых строк
Это количество ненулевых строк в ступенчатой матрице и есть ее ранг.
Элементарные преобразования
Под элементарными преобразованиями понимают:
- Перестановку строк или столбцов
- Умножение строки/столбца на число
- Сложение одной строки/столбца с другим
При этом важно, что элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Это ключевое свойство метода Гаусса.
Пример метода Гаусса
Для закрепления разберем конкретный пример нахождения ранга матрицы методом Гаусса.
