Отклонение среднее квадратическое: формула, практическое применение
Отклонение среднего квадратического является важной статистической мерой, позволяющей оценить точность и воспроизводимость измерений. В данной статье рассматриваются основные понятия, связанные с отклонением среднего квадратического, а также примеры его практического применения.
Основные определения
Отклонение среднего квадратического базируется на таких важных статистических понятиях как дисперсия случайной величины и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Давайте разберемся в них подробнее.
- Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания (среднего значения). Чем выше дисперсия, тем сильнее отклоняются конкретные значения случайной величины от ее среднего.
- Среднее квадратическое отклонение - это квадратный корень из дисперсии. Оно показывает типичное или среднее отклонение случайной величины от ее математического ожидания.
Таким образом, дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют разброс и вариацию значений случайной величины.
Вероятность значений и отклонение среднего квадратического
Зная величину среднего квадратического отклонения, можно оценить насколько вероятно получение тех или иных значений случайной величины.
Например, с вероятностью среднего квадратического отклонения 68% значение случайной величины будет находиться в пределах ±1σ от ее математического ожидания. А с вероятностью 95% значения будут в пределах ±2σ.
Такие оценки позволяют делать обоснованные выводы о возможных значениях измеряемых величин с учетом их случайной природы и разброса.
Применение для оценки точности
Отклонение среднего квадратического широко используется в метрологии и статистическом контроле качества для количественной оценки точности и воспроизводимости измерений и испытаний.
Рассмотрим примеры его практического применения.
- Оценка точности измерительного оборудования. Среднее квадратическое отклонение результатов многократных измерений характеризует разброс значений и может использоваться как показатель точности оборудования.
- Контроль стабильности технологического процесса. Увеличение отклонения среднего квадратического выходных параметров процесса говорит о потере его стабильности.
- Оценка однородности материалов или продукции. Большой разброс результатов испытаний различных проб или образцов указывает на их неоднородность.
Далее рассмотрим более подробно каждый из этих случаев и приведем соответствующие примеры нахождения величины среднего квадратического отклонения и ее интерпретации.
Оценка точности измерительного оборудования
Одним из наиболее распространенных применений отклонения среднего квадратического является оценка точности (правильности и воспроизводимости) результатов измерений. Рассмотрим численный пример.
| Измерение No | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Результат измерения | 10.1 | 10.3 | 9.9 | 10.2 | 10.0 |
Здесь проведено 5 измерений одной и той же физической величины. Результаты незначительно различаются в пределах 0.2. Это связано со случайными погрешностями измерений.
Вычислим среднее значение полученных результатов: (10.1 + 10.3 + 9.9 + 10.2 + 10.0) / 5 = 10.1
Теперь найдем отклонение каждого результата измерения от среднего значения (10.1) и возведем их в квадрат. Сложим полученные квадраты отклонений и разделим сумму на количество измерений минус 1. Извлечем корень из полученного частного - это и есть среднее квадратическое отклонение результатов измерений.
Проведя вычисления, получаем σ = 0.14. Эта величина количественно характеризует разброс и случайные погрешности результатов измерений.
Интерпретация результатов
Итак, в нашем примере среднее квадратическое отклонение результатов измерений составило 0.14. Что это означает?
Во-первых, это значение показывает типичный разброс случайной погрешности отдельных измерений относительно истинного значения измеряемой величины. То есть при повторных измерениях результат может случайно отклоняться от истинного значения примерно на ±0.14.
Во-вторых, с вероятностью 68% (в пределах ±1σ) результат измерения будет отличаться от среднего значения не более чем на 0.14. А с вероятностью 95% (±2σ) - не более чем на 0.28.
Сравнение с нормированной погрешностью
Полученную величину среднеквадратичного отклонения можно сравнить с допустимой погрешностью измерений для данного типа оборудования. Например, если по спецификации допускается средняя квадратическая погрешность не хуже 0.2, то наше оборудование ее удовлетворяет (0.14 меньше 0.2).
Влияние условий эксплуатации
Также по величине среднего квадратического отклонения можно судить о стабильности работы оборудования в конкретных условиях эксплуатации. Если при изменении каких-либо факторов (температуры, влажности и т.д.) отклонение значительно возрастает - это признак ухудшения метрологических характеристик оборудования.
Периодический контроль
Для подтверждения заявленных в спецификации метрологических характеристик оборудования необходим их периодический контроль с помощью экспериментального определения среднего квадратического отклонения результатов измерений.
Такой контроль позволит своевременно выявлять проблемы, связанные с дрейфом характеристик измерительных каналов оборудования, их нестабильностью или увеличенным износом.
Корректировка результатов
Если экспериментально установленная величина среднего квадратического отклонения превышает допустимую по спецификации, это может служить основанием для введения поправочного коэффициента при обработке результатов измерений с целью повышения их точности.
Алгоритм расчета отклонения среднего квадратического
Для использования отклонения среднего квадратического на практике важно четко представлять алгоритм его расчета. Рассмотрим его пошагово:
- Проводим серию повторных измерений (желательно не менее 10-20 раз).
- Вычисляем среднее арифметическое полученных значений.
- Для каждого конкретного результата находим отклонение от среднего значения.
- Возводим отклонения в квадрат.
- Суммируем квадраты отклонений.
- Делим полученную сумму на число измерений минус 1.
- Извлекаем квадратный корень из полученной дисперсии.
В итоге получаем численное значение среднеквадратичного отклонения выборки.
Автоматизация расчетов
Учитывая трудоемкость ручных расчетов описанных выше показателей, на практике часто используется их автоматизированное вычисление с помощью специализированного программного обеспечения или надстроек в популярных табличных процессорах.
Это позволяет быстро обрабатывать большие массивы экспериментальных данных и оперативно получать численные характеристики их разброса и точности.
Графическая интерпретация
Помимо численных показателей, наглядным инструментом для анализа воспроизводимости является графическое представление распределения результатов измерений.
Классическим методом является построение гистограммы или кумулятивной кривой. Визуальный анализ таких графиков дополняет количественную оценку на основе среднего квадратичного отклонения.
Сравнение методик измерений
Еще одним важным применением описываемого статистического инструментария является сравнение альтернативных методик измерений одних и тех же величин.
Более точный и воспроизводимый метод будет характеризоваться меньшей дисперсией и средним квадратическим отклонением результатов измерений по сравнению с худшим методом.