Перпендикулярность двух плоскостей: понятие, признаки

Перпендикулярность плоскостей - важное понятие стереометрии. Давайте разберемся, как определить, перпендикулярны две плоскости или нет.

1. Определение перпендикулярных плоскостей

Определение перпендикулярности плоскостей дается через угол между ними: две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам.

Для обозначения перпендикулярности плоскостей α и β используют запись α ⊥ β. Это означает, что плоскость α перпендикулярна плоскости β , и наоборот.

• Примерами перпендикулярных плоскостей в реальной жизни могут служить: Плоскость пола и стены в комнате Горизонтальная и вертикальная плоскости Плоскости смежных граней куба

Перпендикулярные плоскости обладают следующими свойствами:

2. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Признак перпендикулярности двух плоскостей позволяет определить, являются ли заданные плоскости перпендикулярными, не вычисляя угол между ними. Для этого используется понятие перпендикулярной прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей формулируется следующим образом:

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Это означает, что если в плоскости α проведена прямая а , перпендикулярная плоскости β , то плоскости α и β будут перпендикулярны друг другу.

На практике признак перпендикулярности двух плоскостей используется, например, при решении задач на нахождение угла между плоскостями или доказательства перпендикулярности граней многогранников.

3. Условие перпендикулярности плоскостей

Помимо признака перпендикулярности двух плоскостей, существует еще один способ определить, являются ли плоскости взаимно перпендикулярными. Он основан на понятии нормального вектора.

Нормальный вектор плоскости - это вектор, перпендикулярный к данной плоскости. Обозначим нормальные векторы плоскостей α и β через nα и nβ соответственно.

Тогда необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей α и β будет перпендикулярность их нормальных векторов nα и nβ, то есть выполнение равенства:

nα ∙ nβ = 0

Таким образом, чтобы проверить, перпендикулярны ли две плоскости, достаточно найти скалярное произведение их нормальных векторов и убедиться, что оно равно нулю.

Это условие удобно применять, когда плоскости заданы в прямоугольной системе координат. Тогда по их уравнениям можно легко найти координаты нормальных векторов и вычислить их скалярное произведение.

4. Решение задачи на перпендикулярность плоскостей

Рассмотрим пример применения признака перпендикулярности двух плоскостей и условия перпендикулярности плоскостей при решении задач.

Пример. В прямоугольной системе координат заданы уравнения двух плоскостей:

• 3x + 2y - z = 5
• 2x - y + 3z = 4

Требуется определить, являются ли эти плоскости взаимно перпендикулярными.

Решение. По уравнениям плоскостей находим координаты их нормальных векторов:

n1 = (3; 2; -1), n2 = (2; -1; 3).

Вычисляем скалярное произведение этих векторов:

n1 ∙ n2 = 3·2 + 2·(-1) + (-1)·3 = 6 - 2 - 3 = 1 ≠ 0.

Полученное скалярное произведение не равно нулю, следовательно, данные плоскости не являются перпендикулярными.

Ответ: нет, плоскости не перпендикулярны.

5. Перпендикулярные плоскости в пространственных фигурах

Рассмотрим некоторые свойства перпендикулярных плоскостей на примере таких геометрических тел, как параллелепипед, пирамида, призма.

Параллелепипед

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани попарно параллельны и перпендикулярны:

• ABCD ⊥ EFGC
• ABFE ⊥ DCGH
• и т.д.

Пирамида

В правильной четырехугольной пирамиде плоскости двух соседних граней перпендикулярны. Например:

• ABC ⊥ ABD

Призма

У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает перпендикулярность соответствующих плоскостей:

• ABCD ⊥ AA1B1C1D1

6. Практическое значение перпендикулярных плоскостей

Понятие перпендикулярности плоскостей имеет большое практическое значение в различных областях:

Техника и архитектура:

• При создании чертежей и проектировании конструкций
• В задачах на полную внутреннюю отражаемость света

Так, из соображений оптимальной освещенности и теплопотерь здания проектируются с перпендикулярными стенами и полом по отношению к горизонтальной плоскости.

Наука и искусство: понятие перпендикулярности плоскостей применяется в кристаллографии, геометрическом моделировании, живописи и других областях.