Теорема о касательной и секущей: интересные факты
Теорема о касательной и секущей - одна из самых любопытных в геометрии. Она показывает глубокую взаимосвязь прямых линий, связанных с окружностью. Давайте разберемся в ее удивительных свойствах!
Формулировка теоремы
Точная формулировка теоремы о касательной и секущей звучит так:
Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Эту теорему открыл великий математик и физик XVII века Исаак Ньютон. Она впервые появляется в его труде «Начала натуральной философии» в 1687 году.
Интересно, что в школьных учебниках по геометрии эта теорема упоминается очень редко. По словам многих выпускников:
В учебнике нет, а на экзамене есть
Геометрический смысл теоремы
Чтобы понять геометрический смысл этой теоремы, давайте рассмотрим рисунок:
Здесь из точки A вне окружности проведена касательная AB и секущая AC. Теорема утверждает, что выполняется равенство:
AC × BC = AB2
Это легко объяснить с помощью подобия треугольников ABC и ABD. У них есть общий угол при вершине A, а углы ABC и ABD также равны, поскольку являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу BD.
Например, используя эту теорему можно решить задачу на построение касательной к окружности:
- Дана окружность с центром O радиуса 5 см
- Требуется из точки A, не лежащей на окружности, провести к ней касательную
- Найти длину отрезка от точки A до точки касания B
Решение: проводим произвольную секущую AC = 7 см, BC = 3 см. По теореме: AC × BC = AB2. Отсюда AB = √(7 × 3) = √21 = 4,58 см.
Доказательство теоремы
Существует два основных способа доказательства этой теоремы:
- С помощью подобия треугольников
- Методом вспомогательной хорды
Рассмотрим первый способ. Как мы уже отмечали выше, треугольники ABC и ABD подобны, поскольку имеют:
- Общий угол при вершине A
- Равные углы ABC и ABD
Поэтому справедливо отношение:
Отсюда и получается нужное нам равенство AC × BC = AB2.
Второй способ доказательства с использованием вспомогательной хорды чуть сложнее. Но он также довольно элегантен и красив.
Как отмечает один из учителей математики:
Теорема есть в учебнике, но найти почти невозможно
Теорема о секущих теорема о касательной и секущей
Теорема произведение секущей на ее внешнюю часть является частным случаем более общей теоремы, которая справедлива для двух произвольных секущих, проведенных из одной точки.
Эта теорема утверждает, что если из одной точки проведены две секущие к окружности, то произведение каждой секущей на ее внешний отрезок одинаково для обеих секущих и не зависит от выбора секущей.
Теорема о касательной и секущей получается из этой теоремы, если одну из секущих заменить на касательную (касательная это частный случай секущей, у которой внешний отрезок бесконечно велик).
Свойства касательных хорд и секущих
Касательные, хорды и секущие к окружности обладают множеством интересных свойств, которые позволяют решать сложные геометрические задачи. Давайте рассмотрим некоторые из них:
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания
- Все касательные, проведенные из одной точки, равны между собой
- Угол между секущей и касательной из одной точки равен половине intercepted arc
- Произведение отрезков пересекающихся хорд равно произведению другой пары отрезков
Эти и другие свойства касательных, хорд и секущих позволяют доказывать многие важные утверждения в геометрии. Например, используя их можно строго доказать теорему о вписанном угле, теорему о бабочке и многое другое.
Применение теоремы для решения задач
Теорема о касательной и секущей часто используется при решении различных геометрических задач, связанных с окружностью. Рассмотрим несколько примеров.
- Вычисление радиуса окружности. Имеется окружность и точка A вне ее. Из точки A проведены касательная и секущая. Длины этих отрезков известны. Требуется найти радиус окружности. Решается с помощью подстановки данных в формулу теоремы и преобразований.
- Вычисление длины касательной. Дана окружность и точка вне ее. Требуется провести из этой точки касательную к окружности и найти ее длину. С помощью теоремы находится длина неизвестной касательной через длины известной секущей.
Доказательство перпендикулярности прямых
Даны две прямые, одна из которых является касательной к окружности, а другая - секущей. Надо доказать, что эти прямые перпендикулярны. Для этого применяется теорема и делается вывод об их взаимном расположении.
Формулу теоремы можно обобщить не только на окружность, но и на произвольные многоугольники, вписанные в окружность. Рассмотрим это подробнее.
Теорема для вписанных четырехугольников
Если четырехугольник ABCD вписан в окружность и точка М лежит вне его, то выполняется равенство: MA×MB = MC×MD. Это обобщение теоремы на случай четырехугольника, вместо треугольника.
Формула справедлива и для любых вписанных n-угольников. Сумма произведений сторон, выходящих из одной вершины, не зависит от выбора этой вершины.
Как доказать теорему о секущих
Рассмотрим подробно, как можно доказать теорему о секущих - обобщение теоремы на случай двух произвольных секущих, проведенных из одной точки.
- Проводим вспомогательную касательную к окружности
- Записываем известное равенство для касательной и каждой секущей
- Приравниваем правые части этих равенств и получаем требуемое
Таким образом, теорема о секущих доказывается, опираясь на частный случай для касательной и секущей. Это хороший пример использования известных фактов для получения новых результатов.
История открытия теоремы
Как мы уже отмечали, эту теорему впервые сформулировал и доказал великий английский ученый Исаак Ньютон. Но история ее открытия не так проста.
Есть предположение, что Ньютон мог позаимствовать этот результат у своего соотечественника Исаака Барроу, который занимался похожими вопросами ранее. Окончательно прояснить, кто первым открыл эту теорему, пока не представляется возможным.