Существуют несколько способов решения уравнений квадратных, однако использование формулы, которая связывает коэффициенты равенств названного типа, является универсальным. Этот способ часто называют методом "через дискриминант". Примеры решения уравнений квадратных с помощью него приводятся в данной статье. О них должен знать каждый старшеклассник.
Квадратные уравнения
Примеры с дискриминантом относятся к решению уравнений квадратных. Такие уравнения имеют вид, представленный на фото ниже.
Здесь a, b и c - это некоторые коэффициенты (числа), которые называются квадратичным, линейным и свободным членом, соответственно. Если известны значения икса такие, при которых равенство на фото является истиной, тогда говорят о том, что они являются корнями этого уравнения.
Как можно заметить, это уравнение называется квадратным, потому что "2" является максимальной степенью, в которую возводится x. Если a = 0, тогда уравнение превращается в линейное.
Поскольку максимальная степень уравнения равна двум, то существовать могут только 0, 1 или 2 его корня, которые будут принимать действительные числовые значения.
Чтобы решить названное уравнение, можно воспользоваться несколькими методами. Тем не менее, самым простым и надежным из них является применение формулы с дискриминантом.
Какой формулой нужно пользоваться?
Формула метода решения уравнений квадратных через дискриминант записывается так, как представлено на рисунке ниже.
Можно видеть, что для ее использования необходимо знание всех трех коэффициентов уравнения, а знак "±", стоящий перед корнем, говорит о том, что формула позволяет находить одновременно два разных корня.
Подкоренное выражение называется дискриминантом. Он обычно обозначается латинской буквой D либо греческой Δ. Почему выделяют именно эту часть в представленной формуле? Дело в том, что от знака D зависит, сколько корней будет иметь соответствующее уравнение, и какими будут они.
Так, если D положительный, то выражение приводит к двум разным решениям уравнения квадратного, если же D отрицательный, тогда нет действительных чисел, которые бы удовлетворяли исходному равенству. В этом случае говорят о мнимых корнях, выраженных в виде комплексных чисел. Наконец, если D = 0, то формула приводит к существованию одного единственного корня.
Важные свойства корней в методе "через дискриминант"
Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров уравнений с дискриминантом, необходимо привести два важных свойства корней, полученных методом решения с использованием рассматриваемой формулы.
Первое свойство заключается в том, что их сумма (x1 + x2) равна отношению линейного коэффициента (b) к первому или квадратичному коэффициенту (a), взятое с обратным знаком, то есть -b/a.
Второе свойство состоит в том, что произведение x1 * x2 всегда равно отношению свободного члена (c) к первому коэффициенту (a), то есть c / a.
Приведенные равенства, которые связывают корни уравнения с его коэффициентами, составляют суть так называемой теоремы Виета.
Отметим, что эти формулы справедливы для любого уравнения квадратного (в том числе и неполного, то есть у которого b или/и c равен нулю).
Далее в статье рассмотрим использование формулы с дискриминантом уравнения квадратного в примерах, которые будут сформулированы в виде задач, имеющих практическое значение.
Задача № 1. Произведение и сумма чисел
Первым примером уравнения с дискриминантом будет следующий: необходимо назвать два числа, сумма которых равна 34, а произведение 273.
Согласно условию задачи, составим систему уравнений, обозначив неизвестных два числа, как x1 и x2. Получаем:
x1 + x2 = 34
x1 * x2 = 273.
Выразив x2 через x1 в первом уравнении, и подставив его во второе, имеем: (34 -x1) * x1 = 273. Раскрывая скобки, получим: (x1)2 - 34 * x1 + 273 = 0. То есть условие задачи свелось к решению уравнения квадратного.
Решаем этот пример формулой с дискриминантом: D = (-34)2 - 4 * 1 * 273 = 64. Получилось удобное для вычисления корня квадратного число. Решения этого уравнения будут иметь вид: x1 = (34 ± √64) / 2 = (21; 13). Каждое из полученных чисел x1 подставим в первое уравнение приведенной выше системы, получаем: x2 = (34 - 21 = 13; 34 - 13 = 21).
Таким образом, всего одна пара чисел (13 и 21) удовлетворяет условию задачи. Поскольку сумму мы уже проверили, то проверим теперь произведение: 13 * 21 = 273.
Задача №2. Составление и решение уравнения по заданному условию
В приведенном далее примере формула с дискриминантом также потребуется для его решения. Итак, условие формулируется следующим образом: найти число, двойной квадрат которого превосходит его на 45. Записываем языком математики это условие: 2 * x2 - x = 45. То есть снова задача сводится к нахождению неизвестного x в квадратном уравнении.
Перенесем все члены в левую часть равенства и вычислим дискриминант: D = 1 - 4 * 2 * (-45) = 361. Корень этого числа равен 19. Поэтому решениями уравнения будут числа: x = (1 ± 19) / (2 * 2) = (5; -4,5).
Проверим этот результат: 2 * 52 = 50, что действительно превосходит число 5 на 45; 2 * (-4,5)2 = 40,5, это число также удовлетворяет условию (40,5 - (-4,5) = 45).
Задача №3. Определение сторон прямоугольного треугольника
Еще одним примером с дискриминантом квадратного уравнения является следующая задача: известно, что разность между двумя сторонами прямоугольника равна 70 см. Необходимо найти его стороны, если диагональ фигуры равна 130 см.
Условие задачи позволяет составить систему из двух уравнений:
x1 - x2 = 70
(x1)2 + (x2)2 = 1302.
Здесь x1 и x2 - неизвестные стороны прямоугольника. Поясним, откуда взялось второе уравнение. Поскольку диагональ прямоугольника образует с двумя его сторонами треугольник с углом 90o, то стороны его, которые равны x1 и x2, являются катетами, поэтому можно воспользоваться их связью с диагональю -гипотенузой (теорема Пифагора).
Выразив из первого уравнения x2, подставив его значение во второе уравнение, и раскрыв в нем скобки, получаем: 2 * (x1)2 - 140 * x1 - 12 000 = 0. Решаем это классическое уравнение квадратное: D = (140)2 - 4 * 2 * (-12 000) = 115600. Использование калькулятора позволяет рассчитать корень из этого числа, он равен 340. Корни этого уравнения равны: x1 = (140 ± 340) / 4 = (120; -50). Отрицательное число следует сразу отбросить, поскольку сторона прямоугольника - положительная величина.
Подставляя x1 = 120 см в первое уравнение системы, получаем, что x2 = 50 см.
Таким образом, неизвестные стороны прямоугольника равны 120 см и 50 см.
Задача №4. Два мотоциклиста
Следующий пример уравнения через дискриминант связан с решением задачи про двух мотоциклистов. Известно, что каждый из них выехал навстречу другому. Начальное расстояние между ними было равно 130 км, скорость одного составляла 30 км/ч, а другой ехал со скоростью на 33 км/ч больше, чем число часов, через которые они встретились. Необходимо найти, через какое время встретятся мотоциклисты.
Обозначим неизвестное время буквой t. Из условия задачи следует, что скорость второго мотоциклиста равнялась 33 + t. До встречи каждый мотоциклист проехал расстояние 30 * t и (33 + t) * t. Очевидно, что в момент встречи оба транспортных средства преодолели суммарное расстояние 130 км (см. условие задачи). Тогда получаем уравнение: 30 * t + (33 + t) * t = 130. Раскрывая скобки, получаем следующий вид: t2 + 63 * t - 130 = 0. Вычисляем в этом примере дискриминант: D = (63)2 -4 * 1 * (-130) = 4489. Корень из него будет равен 67. Значения t, удовлетворяющие уравнению, будут равны: t = (-63 ± 67) / 2 = (2; -65). Поскольку время не может быть отрицательным, получаем ответ на задачу: мотоциклисты встретятся через 2 часа.
Задача №5. Аренда лодки группой молодых людей
Завершить эту статью хотелось бы примером и решением через дискриминант одной интересной задачи: несколько молодых людей решили арендовать лодку за 14 000 рублей. Они эту сумму поделили на всех. Однако в самый последний момент трое человек отказались плыть на лодке, поэтому каждый из оставшихся вынужден был доплатить еще 1500 рублей. Сколько человек хотели арендовать лодку изначально?
Пусть изначально было x молодых людей. Тогда каждый из них должен был заплатить сумму 14000 / x рублей. Как только трое человек отказались плыть, последняя сумма для каждого оставшегося стала равна 14000 / (x-3). Поскольку последняя сумма возросла по сравнению с первоначальной на одного человека на 1500 рублей, то можно составить такое уравнение: 14000 / (x-3) - 14000 / x = 1500.
Приведем это уравнение к квадратному. Имеем: 14000 * x - 14000 * x + 14000 * 3 = 1500 * x * (x-3). Раскрывая скобки и, упрощая выражение, получим: 1500 * x2 - 4500 * x - 42 000 = 0. Разделив обе части равенства на 1500, получим выражение: x2 - 3 * x - 28 = 0. Решаем этот пример дискриминантом: D = 9 - 4 * 1 * (-28) = 121. Тогда x = (3 ± 11) / 2 = (7; -4).
Таким образом, изначально группа молодых людей состояла из 7 человек.