Делители и кратные числа

Тема «Кратные числа» изучается в 5 классе общеобразовательной школы. Ее целью является совершенствование письменных и устных навыков математических вычислений. На этом уроке вводятся новые понятия - «кратные числа» и «делители», отрабатывается техника нахождения делителей и кратных натурального числа, умение находить НОК различными способами.

Эта тема является очень важной. Знания по ней можно применить при решении примеров с дробями. Для этого нужно найти общий знаменатель путем расчета наименьшего общего кратного (НОК).

Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.

18:2=9

Каждое натуральное число имеет бесконечное количество кратных ему чисел. Наименьшим считается оно само. Кратное не может быть меньше самого числа.

Задача

Нужно доказать, что число 125 кратно числу 5. Для этого нужно первое число разделить на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.

Все натуральные числа можно разделить на 1. Кратное является делителем для себя самого.

Как мы знаем, числа при делении называются «делимое», «делитель», «частное».

27:9=3,

где 27 – делимое, 9 – делитель, 3 – частное.

Числа, кратные 2, – это те, которые при делении на два не образуют остатка. К ним относятся все четные.

Числа, кратные 3, – это такие, которые без остатка делятся на 3 (3, 6, 9, 12, 15…).

Например, 72. Это число кратно числу 3, потому что делится на 3 без остатка (как известно, число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3)

сумма 7+2=9; 9:3=3.

Является ли число 11 кратным 4?

11:4=2 (остаток 3)

Ответ: не является, так как есть остаток.

Общее кратное двух или более целых чисел - это такое, которое делится на эти числа без остатка.

К(8) = 8, 16, 24...

К(6) = 6, 12, 18, 24...

К(6,8) = 24

НОК (наименьшее общее кратное) находят следующим способом.

Для каждого числа необходимо отдельно выписать в строку кратные числа - вплоть до нахождения одинакового.

НОК (5, 6) = 30.

Данный способ применим для небольших чисел.

При расчёте НОК встречаются особые случаи.

1. Если необходимо найти общее кратное для 2-х чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) и есть наименьшее кратное этих двух чисел.

НОК (80, 20) = 80.

2. Если два простых числа не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК – это произведение этих двух чисел.

НОК (6, 7) = 42.

Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.

42:7=6

42:6=7

В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).

6х7=42

Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.

В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.

42:9=4 (остаток 6)

Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.

Делитель отличается от кратного тем, что делитель – это то число, на которое делят натуральные числа, а кратное само делится на это число.

Наибольший общий делитель чисел a и b, умноженный на их наименьшее кратное, даст произведение самих чисел a и b.

А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.

Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.

Например, найти НОК для 168, 180, 3024.

Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:

168=2³х3¹х7¹

180=2²х3²х5¹

3024=2⁴х3³х7¹

Дальше выписываем все представленные основания степеней с самыми большими показателями и перемножаем их:

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

НОК (168, 180, 3024) = 15120.