Метод группировок в алгебре

Мы часто сталкиваемся в своей жизни с большим количеством разнообразных вещей, а с приходом и развитием электронно-вычислительной техники - ещё и с огромным потоком быстротекущей информации. Все данные, получаемые из окружающей среды, активно обрабатываются нашей мыслительной деятельностью, которая называется в научном языке мышлением. Этот процесс включает в себя различные операции: анализ, синтез, сравнение, обобщение, индукция, дедукция, систематизация и прочие. Значимость вышеперечисленного дополняет и то, что процессы могут выполняться одновременно. Например, во время сравнения мы можем ещё и анализировать данные. Не является исключением операция по систематизации информации. Она также очень активно используется в повседневной жизни и является одной из основополагающих в мышлении. Ведь в наше сознание проникает много разрозненной информации, для восприятия которой на нормальном уровне её нужно как-то классифицировать в однородные предметы. Это происходит подсознательно, но если таких манипуляций нашего мозга не хватает, то можно прибегнуть и к сознательной систематизации. Как правило, для выполнения данной работы люди прибегают к давно проверенному временем и человеческим опытом методу группировок. О нём нам сегодня и следует поговорить.

Определение понятия

Наверное, вам уже доводилось читать громоздкие и информационно перегруженные определения терминов, написанные научным языком. Безусловно, они соответствуют всем необходимым требованиям в плане их правильного составления. Но из-за этого такие определения понимаются достаточно трудно. Особенно это касается совсем уж заумных. Вот к таким-то и относится понятие группировки. Поэтому чтобы было понятнее, мы уйдём от классической и схемы и "разжуём" всё до мелочей.

Группировка всегда относится к систематизации информации либо полученной нами в уже готовом виде (например, когда нам зачитали доклад), либо в результате анализа, который представляет собой мысленное расчленение какого-либо объекта на части (например, когда мы разбираем конфликт, то обязательно разделяем его на несколько составляющих: причины, повод, участники, этапы, завершение, итоги). Систематизация происходит на основе какого-то критерия (основополагающего признака). Скажем, у нас имеется ложка, тарелка и кастрюля. Их главным признаком будет выполнение ими кухонных задач. Такие предметы люди назвали посудой. То есть из вышеперечисленного можно сделать вывод, что группировка представляет собой объединение нескольких одинаковых по общему критерию предметов в одну группу.

Области применения

Как уже говорилось выше, метод группировки используют тогда, когда необходимо "вручную" разбить по однородным классам предметов различные объекты, попадающие в наше восприятие. Это необходимо во время выполнения научной деятельности, конструирования новых материальных и нематериальных объектов, разработки информационных технологий. Группировка очень хороша и в решении обычных повседневных задач, не относящихся к сфере науки. Например, она может быть очень полезна во время учёбы в школе, при уборке в комнате, ну или просто, когда необходимо рационально распределить время на предстоящий день. То есть отсюда можно вывести задачи метода группировок: систематизация и классификация информации и разнородных объектов с целью упрощения работы с ними.

Группировка по количественным и качественным признакам

Это, пожалуй, самые распространённые виды метода группировок.

В случае, когда в качестве критерия берётся количественный показатель, то, условно говоря, числовая прямая, обозначающая диапазон изменений состояния взятого на рассмотрение объекта, разделяется на несколько значений, которые также могут образовывать свои диапазоны, имеющие ещё несколько делений.

В случае когда в качестве критерия берётся качественный показатель, то исходные данные или данные, полученные в результате анализа, группируются в соответствии с теми характеристиками, которые обозначают физические свойства объектов, принятых на рассмотрение (такими состояниями выступают цвет, звук, запах, вкус, агрегатное состояние), а также морфологические, химические, психологические и иные признаки. Здесь необходимо помнить, что взятый критерий не должен обозначать количество предметов.

Метод группировки. Примеры

Для группировки по количественным показателям в качестве примера отлично подойдёт возраст человека. Мы знаем, что он исчисляется в годах, которые можно сгруппировать на несколько частей. Примерно, от 0 до 12 лет протекает детство, с 12 до 18 переходный возраст и т. д. Обратите внимание, эти две категории также имеют деления. От 0 до 3 лет человек переживает младшее детство (делится на младенчество и ранний возраст), с 3 до 7 лет - обычное детство (делится на дошкольный возраст и младший школьный возраст). Таким образом, группировка по количественным признакам очень хорошо подходит в случае с работой числовых данных.

Для группировки по качественным показателям приведём такой пример. Перед нами груши, яблоки, яйца. Если груши и яблоки зелёные, то мы их соберём вместе по общему цвету, а яйца уберём отдельно (физический критерий). А вот по богатству полезных веществ для организма сгруппируем яблоки и яйца вместе, т. к. известно, что они обладают необходимой для человека органикой (химический критерий).

Виды группировки

Группировка осуществляется не только на основе количественных и качественных показателей. Существует классификация этого приёма обработки информации на основе других критериев. Например, одним из самых распространённых является показатель направленности (или цели), т. е. то, ради чего применяется группировка.

Здесь можно выделить метод аналитической группировки. Она применяется для выявления взаимосвязи между различными общественными явлениями, делится на факторные и результативные. Её целью становится изучение общества с помощью особого алгоритма. Он предполагает зависимость результативных данных от факторных. Например, если рабочий изготовил больше изделий на заводе (т. е. перевыполнил свою норму), то он, вполне вероятно, получит больше денег.

Ещё под вышеуказанный критерий попадает метод сводки группировки. Он применяется тогда, когда необходимо составить статистику на основе сведённых (скомпонованных в единое целое) данных. Они могут быть разнородными. Поэтому чтобы получилась правильная и читабельная статистика, эти данные группируют на основе общих признаков. Например, когда магазин продал товары, необходимо эти товары разбить на группы и уже на этой основе приступать к следующим действиям.

Метод группировок показателей также подходит под критерий направленности. Очевидно, он используется для классификации данных, относящихся к разным классам предметов. Это основополагающий метод, без которого не обходится ни один способ группирования информации. Примеров приводить нет смысла, поскольку всё то, что было сказано выше, относится и сюда.

В качестве другого критерия, по которому можно делить группировку на отдельные виды, можно выделить сферу или область её применения. Поговорим об этом подробнее.

Метод группировок в статистике

Применяется в данной области научного знания, которая занимается вопросами сбора, обработки, измерения массовых данных (количественных и качественных). Естественно, что метод группировки в статистике не может не быть актуальным, поскольку она нуждается в систематизации информации. Существует несколько видов группирования в этой науке.

1. Группировка типологическая. Берётся массив информации, затем разбивается на типы, определяемые человеком на основе необходимых критериев. Этот вид очень похож на метод группировок показателей.
2. Группировка структурная. Производится так же, как и предыдущая, имеет больший арсенал действий за счёт проведения дополнительных действий: изучение структуры однородных данных и их структурных изменений.
3. Группировка аналитическая. Была рассмотрена выше. Включена в статистику, поскольку эта наука, так или иначе, связана с изучением общества.

В алгебре

Зная всё необходимое, что было изложено выше, можно поговорить о том, чему посвящена тема сегодняшнего разговора. Пора привести пару слов и о методе группировки в алгебре. Как видим, этот приём работы с информацией настолько распространён и необходим, что он включен в школьную образовательную программу.

Способ группирования в алгебре - это осуществление математических операций по разложению многочлена на множители.

То есть данный метод применяется при работе с многочленами, когда они требуют упрощения и выполнения их решения. Это можно рассмотреть на примере, но сначала немного подробнее о тех действиях, которые необходимо выполнить, чтобы получить правильный ответ.

Этапы разложения многочлена на множители

По сути, это и составляет метод группировок в алгебре. Чтобы приступить к его осуществлению, нужно пройти два этапа:

1. Этап №1. Необходимо найти такие члены многочлена, которые имеют общие множители, затем объединить их в группы путём "сближения" (группирования).
2. Этап №2. Необходимо вынести общий множитель "сближенных" (сгруппированных) членов многочлена за скобки, а затем полученного общего множителя для всех групп.

На первый взгляд это выглядит очень сложно. Но на самом деле здесь нет ничего трудного. Достаточно лишь разобрать один пример.

Пример решения методом группировки

У нас имеется многочлен следующего вида: 9a - 3y + 27 + ay. Итак, сначала находим члены с общим множителем. Видим, что 9a и ay имеют общий множитель a. Также -3y и 27 имеют общий множитель 3. Теперь нужно сделать так, чтобы данные члены были рядом друг с другом, т. е. их необходимо определенным образом сгруппировать. Это можно сделать, поменяв их местами в многочлене. В результате получится 9a + ay - 3y + 27. Первый этап выполнен, теперь самое время перейти ко второму. Выносим общие множители сгруппированных членов за скобки. Теперь многочлен примет следующий вид a(9 + y) - 3(y + 9). У нас появился общий множитель для всех групп: y + 9. Его также нужно вынести за скобки. Получается: (9 + y)(a - 3) Таким образом, многочлен очень сильно упростился и теперь его можно с лёгкостью решить. Для этого нужно приравнять каждую группу к нулю и найти значение неизвестных переменных.

Где ещё в алгебре можно группировать данные?

Как правило, данный способ очень часто используют при решении многочленов. Однако стоит заметить, что в алгебре многие математические модели, "официально" не называющиеся многочленами, таковыми всё-таки являются. Ярким примером могут служить уравнения и неравенства. По своему смыслу первые чему-то равны, а вторые, очевидно, не равны. Но независимо от этого, представленные модели могут выступать одновременно ещё и многочленами. Поэтому решение уравнений методом группировки, а также неравенств зачастую неплохо помогает при выполнении подобных заданий.

Что делать, если не получается?

Обратите внимание: не все многочлены могут быть решены данным способом. Если не получается обнаружить общие множители или присутствует только один общий множитель (на первом этапе), то, очевидно, метод группировки в таком случае применён быть не может. Следует обратиться к другим способам и тогда можно будет получить верный ответ.

Ещё пару моментов

Стоит отметить несколько свойств метода группировок, которые полезно знать:

1. После выполнения второго этапа, если мы поменяем множители местами, ответы всё равно получатся одинаковыми (здесь действует общее математическое правило: от перемены мест множителей их произведение не меняется).
2. В случае, когда общий множитель такой же, как и один из слагаемых (членов) многочлена (включая также знак), при группировании на месте этого слагаемого пишется цифра 1 с соответствующим знаком.
3. После вынесения общего множителя в многочлене должно остаться столько же слагаемых, сколько их было до вынесения.

В заключение

Таким образом, решение методом группировки в алгебре применяется достаточно широко. Этот способ является одним из самых распространённых и универсальных. При его достаточном понимании можно с лёгкостью решать большое количество разнообразных математических моделей: многочленов, уравнений, неравенств и т. п. Это может быть полезно и во время простого урока в школе, и при решении домашнего задания, и при сдаче ОГЭ или ЕГЭ.