Критерий подобия: определение и примеры

Слово "критерий" греческого происхождения, означает признак, являющийся основой для формирования оценки объекта или явления. На протяжении последних лет широко используется как в научной среде, так и в образовании, управлении, экономике, сфере обслуживания, в социологии. Если критерии научности (это определенные условия и требования, обязательные к соблюдению) представлены в абстрагированной форме для всего научного сообщества, то критерии подобия затрагивают только те области науки, которые имеют дело с физическими явлениям и их параметрами: аэродинамикой, теплообменом и массообменом. Для того чтобы разобраться в практической ценности применения критериев, необходимо изучить некоторые понятия из категориального аппарата теории. Стоит отметить, что критерии подобия использовались в технических специальностях задолго до того, как получили свое название. Самым тривиальным критерием подобия можно назвать нахождение процента от целого. Подобную операцию проделывали все без особых проблем и сложностей. А коэффициент полезного действия, который отражает зависимость потребляемой мощности машины и отдаваемой, всегда являлся критерием подобия и от этого не стал восприниматься как нечто туманно-заоблачное.

Основания возникновения теории

Физическое подобие явлений, будь то природа или рукотворный технический мир, применяется человеком в исследованиях по аэродинамике, массо- и теплообмену. В научной среде неплохо зарекомендовал себя метод исследования процессов и механизмов при помощи моделирования. Естественно, что при планировании и проведении эксперимента опорой является энергодинамическая система величин и понятий (ЭСВП). Следует сделать оговорку, что система величин и система единиц (СИ) не равнозначны. На практике ЭСВП существует в окружающем мире объективно, и исследования лишь выявляют их, поэтому основные величины (или критерии физического подобия) не обязаны совпадать с основными единицами. А вот основные единицы (систематизированные в СИ), отвечая требованиям практики, утверждаются (условно) при помощи международных конференций.

Понятийный аппарат подобий

Теория подобия - понятия и правила, целью которых является определение подобия процессов и явлений и обеспечение возможности переноса исследуемых явлений с опытного образца на реальный объект. Основу терминологического словаря составляют такие понятия, как однородные, одноименные и безразмерные величины, константа подобия. Для облегчения понимания сути теории следует рассмотреть значение перечисленных терминов.

• Однородные - величины, которые имеют равные физический смысл и размерность (выражение, показывающее, каким образом единица измерения данной величины составляется из единиц основных величин; скорость имеет размерность длины, разделённой на время).
• Одноименные - процессы, которые различаются по значению, но имеют одинаковую размерность (индукция и взаимоиндукция).
• Безразмерные - величины, в размерность которых основные физические величины входят в степени, равной нулю.

Константа - безразмерная величина, в которой базовой является величина с фиксированным размером (например, элементарный электрический заряд). Она позволяет произвести переход от модели к натуральной системе.

Основные виды подобия

Подобными могут быть любые физические величины. Принято выделять четыре вида:

• геометрическое (наблюдается при равенстве отношений сходных линейных размеров образца и модели);
• временное (наблюдается на сходных частицах подобных систем, двигающихся по подобным путям за определенный промежуток времени);
• физических величин (можно наблюдать на двух сходных точках модели и образца, для которых соотношение физических величин будет постоянным);
• начальных и граничных условий (можно наблюдать при соблюдении трех предыдущих подобий).

Инвариант подобия (обычно обозначается idem в расчетах и обозначает инвариантно или "такой же") – это выражение величин в относительных единицах (т. е. отношение сходных величин в рамках одной системы).

В том случае, если инвариант содержит отношения однородных величин, его называют симплексом, а если разнородных величин, то критерием подобия (им присущи все свойства инвариантов).

Законы и правила теории подобия

В науке все процессы регулируются при помощи аксиом и теорем. Аксиоматическая составляющая теории включает три правила:

• значение h величины H такое же, как отношение величины к единице ее измерения [H];
• физическая величина независима от выбора единицы ее измерения;
• математическое описание явления не подчиняется конкретному выбору единиц измерения.

Основные постулаты

При помощи теорем описаны следующие правила теории:

• Теорема Ньютон-Бертрана: для всех подобных процессов все исследуемые критерии подобия попарно равны друг другу (π₁*=π₁**; π₂*=π₂** и т. д.). Отношение критериев двух систем (модели и образца) всегда равно 1.
• Теорема Бэкингема-Федермана: критерии подобия связаны при помощи уравнения подобия, которое представляется безразмерным решением (интегралом) и называется критериальным уравнением.
• Теорема Киринчен-Гухмана: для подобия двух процессов необходимы качественная их равнозначность и попарная равнозначность определяющих критериев подобия.
• Теорема π (иногда именуется Бэкингема или Ваши): взаимосвязь между h величинами, которые измеряются при помощи m единиц измерения, представляется в виде отношения h – m безразмерными сочетаниями π₁,…, π_h-m этих h величин.

Критерий подобия – это комплексы, объединенные при помощи π–теоремы. Вид критерия можно установить при помощи составления списка величин (A₁,…, A_n) описывающих процесс, и применить рассматриваемую теорему к зависимости F(a₁,…,a_n)=0, являющейся решением задачи.

Критерии подобия и методы исследования

Бытует мнение, что наиболее точно описывающее название теории подобия должно звучать как метод обобщенных переменных, поскольку она является одним из способов обобщения в науке и экспериментальных исследованиях. Основными сферами влияния теории являются методы моделирования и аналогии. Использование основных критериев подобия как частной теории существовало задолго до введения этого термина (ранее назывались коэффициентами или степенями). В качестве примера можно привести тригонометрические функции всех углов подобных треугольников – они безразмерны. Они представляют пример геометрического подобия. В математике самым известным критерием является число Пи (отношение размеров окружности и диаметра круга). На сегодняшний день теория подобия является широко распространенным орудием научных исследований, которое качественно преобразовывается.

Физические явления, изучаемые посредством теории подобия

В современном мире трудно представить изучение процессов гидродинамики, теплообмена, массообмена, аэродинамики в обход теории подобий. Критерии выводятся для любых явлений. Главное, что между их переменными существовала зависимость. Физический смысл критериев подобия отражается в записи (формуле) и предшествующих ей вычислениях. Обычно критерии, как и некоторые законы, называются в честь знаменитых ученых.

Изучение теплообмена

Критерии теплового подобия состоят из величин, которые способны описать процесс теплоотдачи и теплообмена. Наиболее известных критериев четыре:

• Критерий подобия Рейнольдса (Re).

В формуле представлены следующие величины:

• с – скорость носителя тепла;
• l – геометрический параметр (размер);
• v – коэффициент кинематической вязкости

При помощи критерия установлена зависимость сил инерции и вязкости.

• Критерий Нуссельта (Nu).

В него входят такие составляющие:

• α – является коэффициентом теплоотдачи;
• l – геометрический параметр (размер);
• λ – является коэффициентом теплопроводности.

Данный критерий описывает зависимость между интенсивностью теплоотдачи и проводимостью теплоносителя.

• Критерий Прандтля (Pr)

В формуле представлены следующие величины:

• v – является коэффициентом кинематической вязкости;
• α – является коэффициентом температуропроводности.

Данный критерий описывает соотношение температурных и скоростных полей в потоке.

• Критерий Грасгофа (Gr).

Формула составлена при помощи таких переменных:

• g – обозначает ускорение земного притяжения;
• β – является коэффициентом объемного расширения теплоносителя;
• ∆T – обозначает разность температур между теплоносителем и проводником.

Данный критерий описывает соотношение двух сил молекулярного трения и подъемной силы (происходит благодаря разной плотности жидкости).

Критериями подобия теплообмена при свободной конвенции обычно называются критерии Нуссельта, Грасгофа и Прандтля, а при вынужденной конвенции – Пекле, Нуссельта, Рейнольдса и Прандтля.

Изучение гидродинамики

Критерии гидродинамического подобия представлены следующими примерами.

• Критерий подобия Фруда (Fr).

В формуле представлены следующие величины:

• υ – обозначает скорость вещества на расстоянии от обтекаемого ею предмета;
• l – описывает геометрические (линейные) параметры предмета;
• g – обозначает ускорение силы тяжести.

Данный критерий описывает соотношение сил инерции и тяжести в потоке вещества.

• Критерий подобия Струхаля (St).

Формула содержит такие переменные:

• υ – обозначает скорость;
• l – обозначает геометрические (линейные) параметры;
• Т – обозначает интервал времени.

Данный критерий описывает неустановившиеся движения вещества.

• Критерий подобия Маха (M).

В формуле представлены следующие величины:

• υ – обозначает скорость вещества в конкретной точке;
• с – обозначает скорость звука (в жидкости) в конкретной точке.

Данный критерий гидродинамического подобия описывает зависимость движения вещества от его сжимаемости.

Кратко об остальных критериях

Перечислены наиболее встречающиеся критерии физического подобия. Не менее важными являются такие как:

• Вебера (We) – описывает зависимость сил поверхностного натяжения.
• Архимеда (Ar) – описывает зависимость подъемных сил и инерции.
• Фурье (Fo) – описывает зависимость скорости изменения температурного поля, физических свойств и размеров тела.
• Померанцева (Po) – описывает соотношения интенсивности внутренних источников теплоты и температурного поля.
• Пекле (Pe) – описывает соотношения конвективного и молекулярного переносов теплоты в потоке.
• Гидродинамической гомохронности (Ho) – описывает зависимость переносного (конвективного) ускорения и ускорения в данной точке.
• Эйлера (Eu) - описывает зависимость сил давления и инерции в потоке.
• Галилея (Ga) – описывает соотношение сил вязкости и тяжести в потоке.

Заключение

Критерии подобия могут состоять из определенных величин, но могут выводиться и из других критериев. И такая комбинация также будет являться критерием. Из приведенных примеров видно, что принцип подобия является незаменимым в гидродинамике, геометрии, механике, существенно упрощая в некоторых случаях процесс исследования. Достижения современной науки стали возможными во многом благодаря возможности моделировать сложные процессы с большой точностью. Благодаря теории подобия, было сделано не одно научное открытие, отмеченное затем Нобелевской премией.