Обыкновенные дроби и все, что о них нужно знать

Обыкновенные дроби используются для обозначения отношения части к целому. Например, торт был поделен между пятью детьми, следовательно, каждому досталась пятая часть торта (1/5).

Обыкновенные дроби – это записи вида a/b, где a и b – любые натуральные числа. Числитель – первое или верхнее число, а знаменатель – второе или нижнее. Знаменатель указывает на количество долей, на которое разделили целое, а числитель – на количество взятых долей.

История обыкновенных дробей

Дроби упоминаются впервые в рукописях VIII века, намного позднее – в XVII столетии – они получат название "ломаные числа". Эти числа пришли к нам из Древней Индии, затем их использовали арабы, а уже к XII веку они появились и у европейцев.

Изначально обыкновенные дроби имели следующий вид: 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. Такие дроби, которые имели в числителе единицу и обозначали доли целого, назывались основными. Много веков спустя греки, а после них и индийцы начали пользоваться иными дробями, части которых могли состоять из любых натуральных чисел.

Классификация обыкновенных дробей

Есть дроби правильные и неправильные. Правильные – это те, у которых знаменатель больше числителя, а у неправильных – наоборот.

Всякая дробь – это результат частного, поэтому дробную черту можно смело заменять знаком деления. Запись данного вида применяется, когда деление невозможно осуществить нацело. Обращаясь к примеру в начале статьи, скажем, что ребенок получает часть торта, а не все лакомство.

Если число имеет такую сложную запись, как 2 3/5 (две целых и три пятых), то оно является смешанным, так как натуральное число имеет еще и дробную часть. Все неправильные дроби можно свободно превратить в смешанные числа, разделив числитель нацело на знаменатель (таким образом, происходит выделение целой части), остаток записывается на место числителя с условным знаменателем. В качестве примера возьмем дробь 77/15. Разделим 77 на 15, получим целую часть 5 и остаток 2. Следовательно, получаем смешанное число 5 2/15 (пять целых и две пятнадцатых).

Можно произвести и обратную операцию – все смешанные числа легко переводятся в неправильные. Натуральное число (целую часть) перемножаем со знаменателем и складываем с числителем дробной части. Проделаем выше перечисленное с дробью 5 2/15. Умножаем 5 на 15, получаем 75. Затем прибавляем к полученному числу 2, получаем 77. Знаменатель оставляем таким же, и вот перед вами дробь искомого вида – 77/15.

Сокращаем обыкновенные дроби

Что же подразумевает под собой операция сокращения дробей? Деление числителя и знаменателя на одно отличное от нуля число, которое будет являться общим делителем. На примере это выглядит так: 5/10 можно сократить на 5. Числитель и знаменатель нацело делятся на число 5, и получается дробь 1/2. Если сократить дробь невозможно, то она называется несократимой.

Чтобы дроби вида m/n и p/q были равны, должно выполняться следующее равенство: m * q = n * p. Соответственно, дроби не будут равными, если выполняться равенство не будет. Также дроби сравнивают. Из дробей с равными знаменателями больше та, у которой числитель больше. И наоборот, из дробей с равными числителями меньше та, у которой больший знаменатель. К сожалению, все дроби нельзя сравнивать таким образом. Зачастую для сравнения дробей нужно привести их к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

НОЗ

Рассмотрим это на примере: нужно сравнить дроби 1/3 и 5/12. Работаем со знаменателями, наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 3 и 12 – 12. Далее обратимся к числителям. Разделим НОК на первый знаменатель, получаем число 4 (это дополнительный множитель). Затем умножаем число 4 на числитель первой дроби, так появилась новая дробь 4/12. Далее, руководствуясь простыми основными правилами, с легкостью сравниваем дроби: 4/12 < 5/12, а значит, 1/3 < 5/12.

Помните: когда числитель равен нулю, то и вся дробь равна нулю. Но знаменатель ни в коем случае не может равняться нулю, так как на ноль делить нельзя. Когда знаменатель равен единице, то значение всей дроби равно числителю. Выходит, что всякое число свободно представляется в виде числителя и знаменателя единицы: 5/1, 4/1 и так далее.

Арифметические действия с дробями

Сравнение дробей было рассмотрено выше. Обратимся к получению суммы, разности, произведения и частного дробей:

• Сложение или вычитание выполняется только после приведения дробей к НОЗ. После этого числители складывают или вычитают и записывают со знаменателем без изменений: 5/7 + 1/7 = 6/7, 5/7 - 1/7 = 4/7.

• Умножение дробей происходит несколько иначе: отдельно работают с числителями, а после и со знаменателями: 5/7 * 1/7 = (5 * 1) / (7 * 7) = 5/49.
• Для деления дробей нужно умножить первую на дробь, обратную второй (обратные дроби – 5/7 и 7/5). Таким образом: 5/7 : 1/7 = 5/7 * 7/1 = 35/7 = 5.

Нужно знать, что при работе со смешанными числами отдельно проводятся действия с целыми частями и отдельно с дробными: 5 5/7 + 3 1/7 = 8 6/7 (восемь целых и шесть седьмых). В данном случае мы сложили 5 и 3, затем 5/7 с 1/7. Для умножения или деления следует переводить смешанные числа и работать с неправильными дробями.

Скорее всего, прочитав эту статью, вы узнали все об обыкновенных дробях, от истории их возникновения до арифметических действий. Надеемся, что все ваши вопросы исчерпаны.