Как найти разность арифметической прогрессии

Тема "прогрессия арифметическая" изучается в общем курсе алгебры в школах в 9 классе. Эта тема является важной для дальнейшего углубленного изучения математики числовых рядов. В данной статье познакомимся с прогрессией арифметической, ее разностью, а также с типичными задачами, с которыми могут столкнуться школьники.

Понятие о прогрессии алгебраической

Числовая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент можно получить из предыдущего, если применить некоторый математический закон. Известно два простых вида прогрессии: геометрическая и арифметическая, которую называют также алгебраической. Остановимся на ней подробнее.

Представим себе некоторое рациональное число, обозначим его символом a₁, где индекс указывает его порядковый номер в рассматриваемом ряду. Добавим к a₁ некоторое другое число, обозначим его d. Тогда второй элемент ряда можно отразить следующим образом: a₂ = a₁+d. Теперь добавим d еще раз, получим: a₃ = a₂+d. Продолжая эту математическую операцию, можно получить целый ряд чисел, который будет называться прогрессией арифметической.

Как можно понять из изложенного выше, чтобы найти n-ый элемент этой последовательности, необходимо воспользоваться формулой: a_n = a₁ + (n-1)*d. Действительно, подставляя n=1 в выражение, мы получим a₁ = a₁, если n = 2, тогда из формулы следует: a₂ = a₁ + 1*d, и так далее.

Например, если разность прогрессии арифметической равна 5, а a₁ = 1, то это значит, что числовой ряд рассматриваемого типа имеет вид: 1, 6, 11, 16, 21, ... Как видно, каждый его член больше предыдущего на 5.

Формулы разности прогрессии арифметической

Из приведенного выше определения рассматриваемого ряда чисел следует, что для его определения необходимо знать два числа: a₁ и d. Последнее называется разностью этой прогрессии. Оно однозначно определяет поведение всего ряда. Действительно, если d будет положительным, то числовой ряд будет постоянно возрастать, наоборот, в случае d отрицательного, будет происходить возрастание чисел в ряду лишь по модулю, абсолютное же их значение будет уменьшаться с ростом номера n.

Чему равна разность прогрессии арифметической? Рассмотрим две основные формулы, которые используются для вычисления этой величины:

1. d = a_n+1-a_n, эта формула следует непосредственно из определения рассматриваемого ряда чисел.
2. d = (-a₁+a_n)/(n-1), это выражение получается, если выразить d из формулы, приведенной в предыдущем пункте статьи. Заметим, что это выражение обращается в неопределенность (0/0), если n=1. Связано это с тем, что необходимо знание как минимум 2-х элементов ряда, чтобы определить его разность.

Эти две основные формулы используются для решения любых задач на нахождение разности прогрессии. Однако существует еще одна формула, о которой также необходимо знать.

Сумма первых элементов

Формула, с помощью которой можно определить сумму любого количества членов прогрессии алгебраической, согласно историческим свидетельствам, была впервые получена "принцем" математики XVIII века Карлом Гауссом. Немецкий ученый, еще будучи мальчиком в начальных классах деревенской школы, заметил, что для того, чтобы сложить натуральные числа в ряду от 1 до 100, необходимо сначала просуммировать первый элемент и последний (полученное значение будет равно сумме предпоследнего и второго, предпредпоследнего и третьего элементов, и так далее), а затем это число следует умножить на количество этих сумм, то есть на 50.

Формулу, которая отражает изложенный результат на частном примере, можно обобщить на произвольный случай. Она будет иметь вид: S_n = n/2*(a_n+a₁). Заметим, что для нахождения указанной величины, знание разности d не требуется, если известны два члена прогрессии (a_n и a₁).

Пример №1. Определите разность, зная два члена ряда a1 и an

Покажем, как применять указанные выше в статье формулы. Приведем простой пример: разность прогрессии арифметической неизвестна, необходимо определить, чему она будет равна, если a₁₃ = -5,6 и a₁ = -12,1.

Поскольку нам известны значения двух элементов числовой последовательности, при этом один из них является первым числом, то можно воспользоваться формулой №2 для определения разности d. Имеем: d =(-1*(-12,1)+(-5,6) )/12 = 0,54167. В выражении мы использовали значение n=13, поскольку известен член именно с этим порядковым номером.

Полученная разность свидетельствует о том, что прогрессия является возрастающей, несмотря на то, что данные в условии задачи элементы имеют отрицательное значение. Видно, что a₁₃>a₁, хотя |a₁₃|<|a₁|.

Пример №2. Положительные члены прогрессии в примере №1

Воспользуемся полученным в предыдущем примере результатом, чтобы решить новую задачу. Она формулируется следующим образом: с какого порядкового номера элементы прогрессии в примере №1 начнут принимать положительные значения?

Как было показано, прогрессия, в которой a₁ = -12,1 и d = 0,54167 является возрастающей, поэтому с некоторого номера числа начнут принимать только положительные значения. Чтобы определить этот номер n, необходимо решить простое неравенство, которое математически записывается так: a_n>0 или, используя соответствующую формулу, перепишем неравенство: a₁ + (n-1)*d>0. Необходимо найти неизвестное n, выразим его: n>-1*a₁/d + 1. Теперь осталось подставить известные значения разности и первого члена последовательности. Получаем: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 или n>23,338. Поскольку n может принимать только целочисленные значения, из полученного неравенства следует, что любые члены ряда, которые будут иметь номер больше чем 23, будут положительными.

Проверим полученный ответ, воспользовавшись приведенной выше формулой, чтобы рассчитать 23 и 24 элементы этой прогрессии арифметической. Имеем: a₂₃=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (отрицательное число); a₂₄=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 (положительное значение). Таким образом, полученный результат является верным: начиная с n=24 все члены числового ряда будут больше нуля.

Пример №3. Сколько бревен поместится?

Приведем одну любопытную задачу: во время заготовки леса было решено спиленные бревна укладывать друг на друга так, как это показано на рисунке ниже. Сколько бревен можно уложить таким образом, зная, что всего поместится 10 рядов?

В таком способе складывания бревен можно заметить одну интересную вещь: каждый последующий ряд будет содержать на одно бревно меньше, чем предыдущий, то есть имеет место прогрессия алгебраическая, разность которой d=1. Полагая, что число бревен каждого ряда - это член этой прогрессии, а также учитывая, что a₁ = 1 (на самом верху поместится только одно бревно), найдем число a₁₀. Имеем: a₁₀ = 1 + 1*(10-1) = 10. То есть в 10-м ряду, который лежит на земле, будет находиться 10 бревен.

Общую сумму этой "пирамидальной" конструкции можно получить, если воспользоваться формулой Гаусса. Получаем: S₁₀ = 10/2*(10+1) = 55 бревен.