Закон сохранения импульса и момента импульса: пример решения задачи

Когда приходится решать задачи по физике на движение объектов, то часто оказывается полезным применение закона сохранения импульса. Что такое импульс для линейного и кругового перемещения тела, а также в чем состоит суть закона сохранения этой величины, рассматривается в статье.

Понятие о линейном импульсе

Исторические данные свидетельствуют, что впервые эту величину рассмотрел в своих научных трудах Галилео Галилей в начале XVII века. Впоследствии Исаак Ньютон смог гармонично встроить понятие о количестве движения (более правильное название импульса) в классическую теорию перемещения объектов в пространстве.

Обозначим количество движения как p¯, тогда формула для его вычисления запишется в виде:

p¯ = m * v¯.

Здесь m - масса, v¯ - это скорость (векторная величина) движения. Это равенство показывает, что количество движения - это скоростная характеристика объекта, где масса играет роль коэффициента умножения. Количество движения является векторной величиной, направленной в том же направлении, что и скорость.

Интуитивно понятно, что чем больше скорость движения и масса тела, тем труднее его остановить, то есть тем большей кинетической энергией оно обладает.

Количество движения и его изменение

Можно догадаться, что для изменения величины p¯ тела необходимо приложить некоторую силу. Пусть сила F¯ действует в течение промежутка времени Δt, тогда закон Ньютона позволяет записать равенство:

F¯ * Δt = m * a¯ * Δt; следовательно, F¯ * Δt = m * Δv¯ = Δp¯.

Величина, равная произведению промежутка времени Δt на силу F¯, называется импульсом этой силы. Поскольку она оказывается равной изменению количества движения, то последнее часто называют просто импульсом, предполагая тем самым, что некоторая внешняя сила F¯ его создала.

Таким образом, причиной изменения количества движения является импульс внешней силы. Величина Δp¯ может приводить как к увеличению значения p¯, если угол между F¯ и p¯ является острым, так и к уменьшению модуля p¯, если этот угол тупой. Наиболее простыми случаями являются разгон тела (угол между F¯ и p¯ равен нулю) и его торможение (угол между векторами F¯ и p¯ составляет 180^o).

Когда сохраняется количество движения: закон

Если на систему тел не действуют внешние силы, и все процессы в ней ограничиваются только механическим взаимодействием ее составляющих, то каждая компонента количества движения остается неизменной сколь угодно длительное время. Это и есть закон сохранения импульса тел, который математически записывается так:

p¯ = ∑_ip_i¯= const или

∑_ip_ix= const; ∑_ip_iy= const; ∑_ip_iz= const.

Нижний индекс i - это целое число, которое нумерует объект системы, а индексы x, y, z описывают компоненты импульса на каждую из осей координат в декартовой прямоугольной системе.

На практике часто приходится решать одномерные задачи на столкновение тел, когда известны начальные условия, и необходимо определить состояние системы после удара. В этом случае импульс сохраняется всегда, чего нельзя сказать о кинетической энергии. Последняя до и после удара будет неизменной только в единственном случае: когда имеет место абсолютно упругое взаимодействие. Для этого случая столкновения двух тел, которые движутся со скоростями v₁ и v_2, формула закона сохранения импульса примет вид:

m₁ * v₁ + m₂ * v₂ = m₁ * u₁ + m₂ * u₂.

Здесь скорости u₁ и u₂ характеризуют движение тел после удара. Отметим, что в этом виде закона сохранения необходимо учитывать знак скоростей: если они направлены друг навстречу другу, то одну следует принять положительной, а другую - отрицательной.

Для абсолютно неупругого соударения (два тела слипаются после удара) закон сохранения количества движения имеет форму:

m₁ * v₁ + m₂ * v₂ = (m₁ + m₂) * u.

Решение задачи на закон сохранения величины p¯

Решим следующую задачу: два шара катятся друг навстречу другу. Массы шаров одинаковые, а их скорости равны 5 м/с и 3 м/с. Полагая, что имеет место абсолютно упругое столкновение, необходимо найти скорости шаров после него.

Пользуясь законом сохранения импульса для одномерного случая, а также учитывая, что кинетическая энергия сохраняется после удара, запишем:

v_{1 -} v₂ = u₁ + u₂;

v₁² + v₂² = u₁² + u₂².

Здесь мы сразу сократили массы шаров ввиду их равенства, а также учли тот факт, что тела движутся друг навстречу другу.

Продолжить решение системы проще, если подставить известные данные. Получаем:

5 - 3 - u₂ = u₁;

5² + 3² = u₁² + u₂².

Подставляя u₁ во второе равенство, получаем:

2 - u₂ = u₁;

34 = (2 - u₂)²+u₂²=4 - 4u₂ + 2u₂²; следовательно, u₂² - 2u₂ - 15 = 0.

Мы получили классическое квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант, получаем:

D = 4 - 4(-15) = 64.

u₂ = (2 ± 8) / 2 = (5; -3) м/c.

Мы получили два решения. Если их подставить в первое выражение и определить u₁, тогда получим такие значение: u₁= -3 м/с, u₂ = 5 м/с; u₁= 5 м/с, u₂ = -3 м/с. Вторая пара чисел дана в условии задачи, поэтому реальному распределению скоростей после удара она не соответствует.

Таким образом, остается лишь одно решение: u₁= -3 м/с, u₂ = 5 м/с. Этот любопытный результат означает, что при центральном упругом столкновении два шара равной массы просто обмениваются своими скоростями.

Момент импульса

Все, что говорилось выше, относится к линейному типу движения. Однако, оказывается, аналогичные величины можно ввести и при круговом перемещении тел вокруг некоторой оси. Момент импульса, который также называют угловым моментом, вычисляется как произведение вектора, соединяющего материальную точку с осью вращения, на импульс этой точки. То есть имеет место формула:

L¯ = r¯ * p¯, где p¯ = m * v¯.

Момент импульса, как и величина p¯, это вектор, который направлен перпендикулярно плоскости, построенной на векторах r¯ и p¯.

Величина L¯ является важной характеристикой вращающейся системы, поскольку она определяет энергию, которая в ней запасена.

Момент импульса и закон сохранения

Момент импульса сохраняется, если на систему не действуют внешние силы (обычно говорят об отсутствии момента сил). Выражение в предыдущем пункте путем несложных преобразований можно записать в более удобной для практики форме:

L¯ = I * ω¯, где I = m * r² - момент инерции материальной точки, ω¯ - угловая скорость.

Момент инерции I, который появился в выражении, имеет абсолютно такой же смыл для вращения, что обычная масса для линейного движения.

Если имеет место какая-либо внутренняя перестройка системы, при которой I изменяется, то ω¯ тоже не остается постоянной. Причем изменение обеих физических величин происходит таким образом, что равенство ниже остается справедливым:

I₁ * ω₁¯ = I₂ * ω₂¯.

Это и есть закон сохранения углового момента L¯. Его проявление наблюдал каждый человек, который хотя бы один раз посещал балет или фигурное катание, где спортсменки выполняют пируэты с вращением.