Как составлять уравнения прямой, проходящей через две точки?

Одна из аксиом геометрии утверждает, что через всякие две точки возможно провести единственную прямую. Эта аксиома свидетельствует, что существует единственное числовое выражение, однозначно описывающее указанный одномерный геометрический объект. Рассмотрим в статье вопрос касательно того, как составить уравнение прямой, проходящей через две точки.

Что такое точка и прямая?

Прежде чем рассматривать вопрос построения в пространстве и на плоскости прямой уравнения, проходящей через пару разных точек, следует дать определение указанным геометрическим объектам.

Точка однозначно определяется набором координат в заданной системе координатных осей. Кроме них больше не существует характеристик для точки. Она является нульмерным объектом.

Когда говорят о прямой, то каждый человек представляет линию, изображенную на белом листе бумаги. В то же время можно дать точное геометрическое определение этому объекту. Прямая представляет собой такую совокупность точек, для которой соединение каждой из них со всеми остальными даст набор параллельных векторов.

Данное определение используется при задании векторного уравнения прямой, о котором будет сказано ниже.

Поскольку на всякой прямой можно отметить отрезок произвольной длины, то говорят, что она является одномерным геометрическим объектом.

Числовая функция векторная

Уравнение через две точки проходящей прямой может быть составлено в разных видах. В трехмерном и двумерном пространствах основным и интуитивно понятным числовым выражением является векторное.

Предположим, что имеется некоторый направленный отрезок u¯(a; b; c). В трехмерном пространстве вектор u¯ может начинаться в произвольной точке, поэтому его координаты задают бесконечный набор параллельных векторов. Однако если выбрать конкретную точку P(x₀; y₀; z₀) и положить ее началом вектора u¯, тогда, умножая на произвольное действительное число λ этот вектор, можно в пространстве получить все точки одной прямой. То есть векторное уравнение запишется в виде:

(x; y; z) = (x₀; y₀; z₀) + λ*(a; b; c)

Очевидно, что для случая на плоскости числовая функция принимает форму:

(x; y) = (x₀; y₀ ) + λ*(a; b)

Преимущество этого вида уравнения по сравнению с остальными (в отрезках, каноническое, общего вида) заключается в том, что в нем в явной форме содержатся координаты направляющего вектора. Последний часто используется для определения факта параллельности или перпендикулярности прямых.

Общее в отрезках и каноническая функция для прямой в двумерном пространстве

При решении задач иногда требуется написать уравнение проходящей через две точки прямой в определенном, конкретном виде. Поэтому следует привести другие способы задания этого геометрического объекта в двумерном пространстве (для простоты рассмотрим именно случай на плоскости).

Начнем с уравнения общего вида. Оно имеет форму:

A*x + B*y + C = 0

Как правило, на плоскости уравнение прямой записывается именно в этой форме, только y явно определяется через x.

Теперь преобразуем выражение выше следующим образом:

A*x + B*y = -C =>

x/(-C/A) + y/(-C/B) = 1

Это выражение называется уравнением в отрезках, поскольку знаменатель для каждой переменной показывает, какой длины отрезок прямая отсекает на соответствующей координатной оси относительно начальной точки (0; 0).

Остается привести пример канонического уравнения. Для этого запишем в явном виде векторное равенство:

x = x₀ + λ*a;

y = y₀ + λ*b

Выразим отсюда параметр λ и приравняем полученные равенства:

λ = (x - x₀)/a;

λ = (y - y₀)/b;

(x - x₀)/a = (y - y₀)/b

Последнее равенство называется уравнением в канонической, или симметричной форме.

Каждое из них может быть переведено в векторное и наоборот.

Уравнение прямой, через две точки проходящей: методика составления

Возвращаемся к вопросу статьи. Предположим, что в пространстве существуют две точки:

M(x₁; y₁; z₁) и N(x₂; y₂; z₂)

Через них проходит единственная прямая, уравнение которой очень просто составить в векторной форме. Для этого вычислим координаты направленного отрезка MN¯, имеем:

MN¯ = N - M = (x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁)

Не трудно догадаться, что этот вектор будет направляющим для прямой, уравнение которой необходимо получить. Зная, что она также проходит через M и N, можно координаты любой из них использовать для векторного выражения. Тогда искомое уравнение принимает вид:

(x; y; z) = M + λ*MN¯ =>

(x; y; z) = (x₁; y₁; z₁) + λ*(x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁)

Для случая в двумерном пространстве получаем аналогичное равенство без участия переменной z.

Как только записано векторное равенство для прямой, его можно перевести в любой другой вид, который требует вопрос задачи.

Задача: составить уравнение общего вида

Известно, что проходит прямая через точки с координатами (-1; 4) и (3; 2). Необходимо составить уравнение прямой, проходящей через них, в общем виде, выразив y через x.

Для решения задачи запишем сначала уравнение в векторном виде. Координаты вектора (направляющего) равны:

(3; 2) - (-1; 4) = (4; -2)

Тогда векторная форма записи уравнения прямой получается следующая:

(x; y) = (-1; 4) + λ*(4; -2)

Остается ее записать в общем виде в форме y(x). Переписываем в явном виде это равенство, выражаем параметр λ и исключаем его из уравнения:

x = -1 + 4*λ => λ = (x+1)/4;

y = 4 - 2*λ => λ = (4-y)/2;

(x+1)/4 = (4-y)/2

Из полученного канонического уравнения выражаем y и приходим к ответу на вопрос задачи:

y = -0,5*x + 3,5

Справедливость этого равенства можно проверить, если подставить координаты заданных в условии задачи точек.

Задача: прямая, проходящая через центр отрезка

Теперь решим одну интересную задачу. Предположим, что заданы две точки M(2; 1) и N(5; 0). Известно, что проходит прямая через середину отрезка, который соединяет точки, и перпендикулярна ему. Напишите уравнение прямой, проходящей через середину отрезка, в векторной форме.

Искомое числовое выражение можно составить, вычислив координату этого центра и определив направляющий вектор, который с отрезком составляет угол 90^o.

Координата середины отрезка равна:

S = (M + N)/2 = (3,5; 0,5)

Теперь рассчитаем координаты вектора MN¯:

MN¯ = N - M = (3; -1)

Так как направляющий вектор для искомой прямой перпендикулярен MN¯, то их скалярное произведение равно нулю. Это позволяет рассчитать неизвестные координаты (a; b) направляющего вектора:

a*3 - b = 0 =>

b = 3*a

Теперь записываем векторное уравнение:

(x; y) = (3,5; 0,5) + λ*(a; 3*a) =>

(x; y) = (3,5; 0,5) + β*(1; 3)

Здесь мы заменили произведение a*λ новым параметром β.

Таким образом, мы составили уравнение прямой, проходящей через центр отрезка.