Формула площади правильной треугольной пирамиды и пример решения задачи

Пирамида является совершенной геометрической фигурой, форму которой можно встретить в некоторых предметах из нашей жизни, например, в магических амулетах. В данной статье рассмотрим, как найти площадь правильной треугольной пирамиды и приведем соответствующую формулу.

Треугольная пирамида или тетраэдр

В геометрии пирамидой называют такой геометрический объект, который состоит из n треугольников и одного n-угольника. Все треугольники пересекаются в точке, которая называется вершиной фигуры, а n-угольник является ее основанием. Не сложно догадаться, что название пирамиды определяется числом сторон n-угольника.

В соответствии с темой данной статьи, мы рассмотрим треугольную пирамиду. Ее n-угольным основанием является также треугольник. Поэтому такая пирамида состоит из 4 треугольных граней, каждую из которых можно рассматривать в качестве основания. У треугольной пирамиды 4 равноправных вершины и 6 ребер. Поскольку число сторон фигуры равно 4, то ее также называют тетраэдром. Для наглядности приведем изображение треугольной пирамиды:

На рисунке показан вид сверху на фигуру.

Правильная пирамида с треугольным основанием и ее развертка

В общем случае треугольником в основании может быть фигура произвольной формы. Однако если этим треугольником является равносторонняя фигура, и перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, пересекает треугольник в его центре, тогда речь ведут о правильной пирамиде.

Правильная треугольная пирамида состоит из равностороннего треугольника, сторону которого обозначим буквой a, и трех равнобедренных треугольников, которые друг другу равны. При определенном соотношении высоты фигуры h и длины a равнобедренные треугольники могут стать равносторонними, тогда все четыре грани пирамиды будут равны между собой.

Для определения площади рассматриваемой фигуры проще всего выполнить ее развертку на плоскость. Рисунок ниже показывает, что представляет собой эта развертка.

Здесь показаны четыре треугольника, из которых равносторонний является основанием пирамиды, а три равнобедренных фигуры составляют ее боковую поверхность. Сумма площадей всех треугольников образует площадь правильной треугольной пирамиды.

Формула площади

Из курса планиметрии каждый школьник знает, как найти площадь треугольника. Для этого следует произвести такие вычисления:

S₃ = 1/2 * a * h_a.

Здесь a - основание треугольника, h_a - его высота (индекс a введен, чтобы отличать эту величину от высоты пирамиды h).

В случае равностороннего треугольника его высота равна:

h_a = √3/2 * a.

Тогда формула основания площади правильной треугольной пирамиды приобретает вид:

S₃ = 1/2 * a * √3/2 * a = √3/4 * a².

То есть для определения площади основания достаточно знать только длину его стороны.

Чтобы определить площадь боковой поверхности S_b, введем понятие апофемы пирамиды. Апофемой называют высоту любого из боковых треугольников, которая опущена из вершины пирамиды на сторону основания. Все апофемы в правильной пирамиде равны друг другу. Обозначим их длины символом h_b. Поскольку рассматриваемая пирамида состоит из трех боковых сторон, то площадь S_b вычисляется по формуле:

S_b = 3/2 * a * h_b.

Остается сделать последний шаг, чтобы записать формулу площади правильной треугольной пирамиды:

S = S₃ + S_b = √3/4 * a² + 3/2 * a * h_b.

Заметим, что площадь поверхности рассматриваемой геометрической фигуры определяется однозначно, если знать два линейных ее параметра (a и h_b).

Решение задачи

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Высота же самой фигуры в два раза больше длины стороны основания. Чему равна площадь поверхности этой пирамиды?

Поскольку нам известно значение высоты основания и отношение между высотой фигуры с стороной равностороннего треугольника, то этой информации достаточно, чтобы ответить на вопрос задачи. В первую очередь определим сторону a и значение высота h, имеем:

h_a = √3/2 * a;

a = 2 * h_a / √3 = 11,547 см;

h = 2 * a = 23,094 см.

В параграфе выше была приведена формула для S, однако ей воспользоваться на данном этапе задачи мы не можем, поскольку мы не знаем апофему h_b. Последнюю несложно вычислить, если увидеть, что она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого будут высота h и 1/3 высоты основания. Учитывая сказанное, получаем:

h_b = √(h² + (1/3 * h_a)²) = √(23,094² + (1/3 * 10)²) = 23,333 см.

Заметим, что значение h_b немного больше, чем высота h фигуры.

Мы нашли все параметры, которые стоят в формуле для S, теперь можно вычислить искомую площадь:

S = √3/4 * a² + 3/2 * a * h_b = √3/4 * 11,547² + 3/2 * 11,547 * 23,333 = 409,14 см².

Формула для S записана в таком виде, что позволяет отдельно определить площадь основания и боковой поверхности.