Площадь усеченного конуса. Формула и пример задачи

Фигурам вращения в геометрии уделяется особое внимание при изучении их характеристик и свойств. Одной из них является усеченный конус. Данная статья преследует своей целью ответить на вопрос, по какой формуле можно вычислить площадь усеченного конуса.

О какой фигуре пойдет речь?

Прежде чем описывать площадь усеченного конуса, необходимо дать точное геометрическое определение данной фигуры. Усеченным называется такой конус, который получается в результате отсечения плоскостью вершины обычного конуса. В этом определении следует подчеркнуть ряд нюансов. Во-первых, плоскость сечения должна быть параллельной плоскости основания конуса. Во-вторых, исходная фигура должна представлять собой конус круговой. Конечно, это может быть эллиптический, гиперболический и другой вид фигуры, но в данной статье ограничимся рассмотрением только кругового конуса. Последний приведен ниже на рисунке.

Несложно догадаться, что его можно получить не только с помощью сечения плоскостью, но и при помощи операции вращения. Для этого необходимо взять трапецию, имеющую два прямых угла, и вращать ее вокруг стороны, которая прилегает к этим прямым углам. В результате основания трапеции станут радиусами оснований усеченного конуса, а боковая наклонная сторона трапеции опишет коническую поверхность.

Развертка фигуры

Рассматривая площадь поверхности усеченного конуса, полезно привести его развертку, то есть изображение поверхности объемной фигуры на плоскости. Ниже изображена развертка изучаемой фигуры с произвольными параметрами.

Видно, что площадь фигуры образована тремя составляющими: два круга и один усеченный круговой сегмент. Очевидно, что для определения искомой площади, необходимо сложить площади всех названных фигур. Займемся решением этой задачи в следующем пункте.

Площадь усеченного конуса

Чтобы легче было понять последующие рассуждения, введем следующие обозначения:

• r1, r2 - радиусы большого и малого оснований соответственно;
• h - высота фигуры;
• g - образующая конуса (длина наклонной стороны трапеции).

Площадь оснований конуса усеченного рассчитать несложно. Запишем соответствующие выражения:

S_o1 = pi*r₁²;

S_o2 = pi*r₂².

Площадь части кругового сегмента определить несколько сложнее. Если представить, что центр этого кругового сектора не вырезан, тогда его радиус будет равен величине G. Вычислить ее несложно, если рассмотреть соответствующие подобные прямоугольные треугольники конуса. Она равна:

G = r₁*g/(r₁-r₂).

Тогда площадь целого кругового сектора, который построен на радиусе G и который опирается на дугу длиной 2*pi*r₁, будет равна:

S₁ = pi*r₁*G = pi*r₁²*g/(r₁-r₂).

Теперь определим площадь малого кругового сектора S₂, которую нужно будет вычесть из S₁. Она равна:

S₂ = pi*r₂*(G - g) = pi*r₂*(r₁*g/(r₁-r₂) - g) = pi*r₂²*g/(r₁-r₂).

Площадь конической усеченной поверхности S_b равна разности S₁ и S₂. Получаем:

S_b = S₁ - S₂ = pi*r₁²*g/(r₁-r₂) - pi*r₂²*g/(r₁-r₂) = pi*g*(r₁+r₂).

Несмотря на несколько громоздкие вычисления, мы получили достаточно простое выражение для площади боковой поверхности фигуры.

Сложив площади оснований и S_b, приходим к формуле площади усеченного конуса:

S = S_o1 + S_o2 + S_b = pi*r₁² + pi*r₂² + pi*g*(r₁+r₂).

Таким образом, для расчета величины S изучаемой фигуры необходимо знать три ее линейных параметра.

Пример задачи

Круговой прямой конус радиусом 10 см и высотой 15 см был обрезан плоскостью так, что получился правильный усеченный конус. Зная, что расстояние между основаниями усеченной фигуры равно 10 см, необходимо найти площадь ее поверхности.

Чтобы воспользоваться формулой площади конуса усеченного, необходимо найти три его параметра. Один мы знаем:

r₁ = 10 см.

Два других несложно рассчитать, если рассмотреть подобные треугольники прямоугольные, которые получаются в результате осевого сечения конуса. С учетом условия задачи получаем:

r₂ = 10*5/15 = 3,33 см.

Наконец, направляющая усеченного конуса g будет равна:

g = √(10² + (r₁-r₂)²) = 12,02 см.

Теперь можно подставить величины r₁, r₂ и g в формулу для S:

S = pi*r₁² + pi*r₂² + pi*g*(r₁+r₂) = 851,93 см².

Искомая площадь поверхности фигуры приблизительно равна 852 см².