Как найти модуль числа: примеры

Модуль числа - важное понятие в математике, которое помогает определить расстояние числа от нуля на числовой оси. Рассмотрим подробно, что такое модуль, его свойства и применение.

Определение модуля

Модулем числа a называют его расстояние от начала координат (нуля) на числовой оси. Графически это выглядит так:

Формальное определение модуля числа a:

|a| = расстояние от 0 до a на числовой оси

Например, модуль числа 3 равен:

|3| = 3

А модуль числа −5 равен:

|−5| = 5

Поскольку расстояние от 0 до точки −5 тоже составляет 5 шагов.

Свойства модуля

Модуль обладает рядом полезных свойств, которые используются для работы с выражениями, содержащими модуль. Их нужно знать наизусть:

1. Модуль числа не может быть отрицательным: |a| ≥ 0
2. |a| = a, если a ≥ 0 (модуль положительного числа равен самому числу)
3. |a| = −a, если a < 0 (модуль отрицательного числа равен числу со знаком минус)
4. |-a| = |a| (модули противоположных чисел равны)
5. |ab| = |a|·|b|
6. |a/b| = |a|/|b|, если b ≠ 0
7. |0| = 0

Применение модуля

Как найти модуль числа разными способами? Рассмотрим их подробнее.

Нахождение модуля числа

Для нахождения модуля числа a можно использовать два способа:

1. Графически - отложить число на числовой оси и замерить длину отрезка от нуля до этого числа.
2. Аналитически - воспользоваться следующими правилами:
   Если a ≥ 0, то |a| = a Если a < 0, то |a| = −a

Например, нужно найти модуль числа −8:

1. Откладываем на числовой оси −8 и считаем расстояние от 0. Оно составляет 8.
2. Так как −8 < 0, то по правилу |−8| = −(−8) = 8.

Получили, что модуль числа −8 равен 8.

Решение уравнений с модулем

Как найти модуль, полезно знать для нахождения решений уравнений, содержащих модуль. Это делается в два этапа:

1. Приравниваем подмодульное выражение к нулю и решаем полученное уравнение. Так находим точки разрыва модуля.
2. Раскрываем модуль в уравнении по разным ветвям, разбивая решение на промежутки между точками разрыва.

Рассмотрим на примере:

Решим уравнение |2x − 1| = 3

1. 2x − 1 = 0 → x = 0.5 (точка разрыва модуля)
2. Раскроем модуль:
   Если x ≤ 0.5, то 2x - 1 ≤ 0 и |2x − 1| = −(2x − 1) = 3 Если x > 0.5, то 2x - 1 > 0 и |2x − 1| = 2x − 1 = 3
3. Решая полученные уравнения, находим:
   x = -1, если x ≤ 0.5 x = 2, если x > 0.5

Ответ: x = -1 при x ≤ 0.5; x = 2 при x > 0.5.

Неравенства, содержащие модуль

Знание того, как найти модуль числа. поможет решить и неравенства с модулем. Для этого:

1. Находим точки разрыва модуля, приравнивая подмодульное выражение к нулю.
2. Раскрываем модуль по всем ветвям, используя знаки неравенства.
3. Объединяем решения с разных промежутков.

Пример решения неравенства:

|2x + 5| > 7

1. 2x + 5 = 0 → x = -2.5
2. Раскроем модуль:
   2x + 5 > 7, если x > -2.5 −(2x + 5) > 7, если x ≤ -2.5
3. Решив неравенства, получим:
   x > 3, если x > -2.5 x < -4, если x ≤ -2.5
4. Объединяя решения, имеем: x ∈ (-∞;-4) ∪ (3;+∞)

Таким образом, модуль позволяет решать различные уравнения и неравенства аналитически, опираясь на его свойства.

Модуль многочлена

Помимо чисел, можно находить модуль многочленов, рациональных функций и других более сложных выражений. Например, пусть дан многочлен:

f(x) = 2x3 - 3x2 + 5

Тогда его модуль можно представить так:

|f(x)| = |2x3 - 3x2 + 5|

И для нахождения значения модуля многочлена при конкретном x нужно подставить это x в f(x), вычислить значение многочлена и взять от него модуль:

|f(-1)| = |2*(-1)3 - 3*(-1)2 + 5| = |-2 + 3 + 5| = |6| = 6

Свойства функции модуля

Функция вида y = |f(x)|, заданная модулем от некоторой функции f(x), имеет следующие свойства:

• Непрерывна на всей числовой оси
• Четна относительно начала координат (т.е. |f(-x)| = |f(x)|)
• Монотонно неубывающая (не возрастает)

Наглядно функция модуля выглядит как "галочка":

Применение модуля в геометрии

Как найти модуль вектора \vec{a}? Оказывается, модуль вектора - это его длина. Формальное определение:

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + ... + a_n^2}

где \vec{a} = (a₁, a₂, ..., a_n) - координаты вектора в n-мерном пространстве.

Например, для вектора \vec{a} = (3, 4) в двумерном пространстве его модуль равен:

|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

Аналогично можно находить расстояния между точками на плоскости и в пространстве при помощи модуля.

Модуль комплексного числа

Для комплексного числа z = a + bi модуль определяется по формуле:

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

Геометрически модуль комплексного числа - это расстояние от точки z до начала координат (0, 0) на комплексной плоскости.

Например, если z = 3 + 4i, тогда

|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Применение модуля в физике

В физике модуль широко используется для задания абсолютных величин, не зависящих от направления и знака. Например:

• Скорость тела (модуль вектора скорости)
• Сила тока в цепи (значение берется по модулю)
• Работа силы на отрезке пути (зависит от модуля силы)

Таким образом, концепция модуля применима для решения физических задач, где требуется оперировать абсолютными значениями величин.