Тензорное исчисление: наука об обобщенных величинах

Тензорное исчисление - один из наиболее абстрактных и сложных для понимания разделов математики. Однако без него не обходится ни одна современная физическая теория.

Что такое тензор и зачем он нужен

Тензором называется обобщенная величина, которая описывается несколькими компонентами и определенными правилами их трансформации при смене системы координат. В отличие от скаляров, у тензоров нет единственного числового значения. В отличие от векторов, у тензоров более сложные правила преобразования компонент.

Рассмотрим для примера тензор инерции. Он описывает распределение масс в твердом теле и определяется матрицей из девяти компонент:

J₁₁, J₁₂, J₁₃

J₂₁, J₂₂, J₂₃

J₃₁, J₃₂, J₃₃

Эту матрицу нельзя свести к трем числам, как для обычного вектора. При повороте системы координат компоненты тензора инерции трансформируются по довольно сложным правилам.

Основные понятия тензорной алгебры

Различают тензоры разных типов в зависимости от числа верхних и нижних индексов:

• Ковариантные (только нижние индексы).
• Контравариантные (только верхние индексы).
• Смешанные (и верхние, и нижние индексы).

Для каждого тензора определены такие характеристики, как ранг и валентность. Ранг - это число индексов, а валентность - их сумма.

С тензорами можно выполнять алгебраические операции:

1. Сложение тензоров.
2. Умножение тензоров.
3. Свертка тензоров (суммирование по повторяющимся индексам).

Важное свойство тензоров - инвариантность, то есть независимость от выбора системы координат. Это обеспечивается за счет особых правил трансформации компонент.

Как видно из таблицы, скаляры и векторы можно рассматривать как частные случаи тензоров.

Приложения тензорного исчисления

Тензорное исчисление нашло широкое применение во многих областях физики благодаря способности удобно описывать сложные физические величины и их взаимосвязи:

• Тензорное исчисление в теории относительности. В основе общей теории относительности Эйнштейна лежит понятие искривленного пространства-времени. Его математическим описанием служит тензор кривизны Римана - тензор валентности 4.
• Тензоры кривизны в общей теории относительности. С помощью тензоров кривизны описывается, как массы искривляют пространство-время, а искривленное пространство-время, в свою очередь, влияет на движение этих масс.
• Тензорные уравнения в механике сплошных сред. Механика сплошных сред широко использует тензорное исчисление для записи уравнений движения и деформации жидкостей и газов. Например, тензор напряжений описывает внутренние силы, действующие в элементах сплошной среды.
• Тензорные инварианты в физике твердого тела. Свойства кристаллов описываются в рамках теории симметрии с помощью тензорных инвариантов, не зависящих от выбора системы координат. Это позволяет установить общие закономерности в поведении разных классов кристаллов.

Тензорное описание электромагнитного поля

Оказывается, электромагнитное поле также наиболее адекватно описывается языком тензорного исчисления. Это позволяет в компактной и инвариантной форме записывать уравнения Максвелла как в вакууме, так и в различных средах.

Основы тензорного анализа

Тензорное исчисление не ограничивается только алгебраическими операциями с тензорами. Существует раздел тензорного анализа, который изучает дифференциальные свойства тензорных полей.

Тензорные поля на многообразиях

Если каждой точке некоторого многообразия сопоставить тензор, мы получим понятие тензорного поля. На него накладываются определенные условия гладкости и непрерывности.

Дифференцирование тензорных полей

Тензорные поля можно дифференцировать по координатам, в результате чего получаются новые тензорные поля. Для ковариантного дифференцирования используется специальный оператор - ковариантная производная.

Интегрирование тензорных полей

Операция интегрирования позволяет вычислять различные интегральные характеристики тензорных полей на многообразиях, такие как потоки или циркуляции.

Уравнения тензорного анализа

Аппарат тензорного анализа используется при записи многих дифференциальных уравнений физики, в частности уравнений Навье-Стокса для вязкой жидкости или уравнений Максвелла электродинамики.

Метод конечных элементов

Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, такие как метод конечных элементов, базируются на идеях тензорного анализа.

Тензорное исчисление и компьютерные вычисления

Современные компьютеры предоставляют мощный инструментарий для работы с тензорами и решения задач тензорного анализа.

Представление тензоров в виде массивов

Компоненты тензоров удобно рассматривать как элементы многомерных числовых массивов, с которыми умеют работать все языки программирования и пакеты компьютерной алгебры.

Реализация тензорных операций

Сложение тензоров, их умножение и свертка сводятся к покомпонентным операциям над соответствующими массивами, что легко реализуется программно.

Пакеты компьютерной алгебры

Системы вроде Mathematica, Maple и MATLAB содержат встроенные средства для работы с тензорными объектами, что избавляет от необходимости программировать тензорные операции.

Метод конечных элементов

Этот метод численного решения дифференциальных уравнений в частных производных широко используется при моделировании различных физических процессов.

Графическая визуализация тензорных полей

Мощная компьютерная графика позволяет не только выполнять вычисления, но и наглядно визуализировать поведение тензорных полей.