Формула Ньютона-Лейбница — доказательство: путь к пониманию определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница устанавливает глубокую связь между двумя фундаментальными понятиями математического анализа - определенным интегралом и первообразной функции. Понимание этой связи позволяет эффективно вычислять определенные интегралы в замкнутом виде. Давайте разберемся в доказательстве формулы Ньютона-Лейбница и ее роли в постижении природы определенного интеграла.

История открытия формулы Ньютона-Лейбница

Идея определенного интеграла как предела интегральных сумм зародилась в трудах Исаака Ньютона в конце XVII века. Примерно в то же время Готфрид Лейбниц независимо ввел понятие первообразной функции.

Первоначально эти два понятия развивались отдельно, без видимой связи друг с другом. Однако уже в 1684-1686 годах Лейбниц и Ньютон независимо друг от друга установили формулу, выражающую определенный интеграл через первообразную функцию.

С тех пор велась оживленная дискуссия о приоритете в открытии этой фундаментальной формулы. Большинство историков науки отдают пальму первенства Ньютону, поскольку он раньше опубликовал результаты своих исследований. Однако первое полное доказательство принадлежит Лейбницу.

Несомненно, установление формулы Ньютона-Лейбница, как ее принято называть сегодня, ознаменовало новую эпоху в развитии математического анализа. Эта формула позволила вычислять определенные интегралы для широкого класса функций в явном виде, что ранее было возможно лишь в немногих частных случаях.

Формулировки теоремы Ньютона-Лейбница

Прежде чем перейти к доказательству, давайте уточним определения входящих в формулу понятий.

Определенный интеграл функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ определяется как предел последовательности интегральных сумм при условии сходимости этого предела.

Здесь $f(x)$ - интегрируемая на $[a, b]$ функция, т.е. ограниченная и такая, что множество ее точек разрыва имеет меру 0.

Первообразной функции $f(x)$ на интервале $(a, b)$ называется функция $F(x)$, производная которой равна исходной функции.

Теорема Ньютона-Лейбница утверждает, что для непрерывной на $[a, b]$ функции $f(x)$ ее определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции в концевых точках интервала.

Это ключевое утверждение математического анализа, позволяющее связать воедино определенный интеграл и первообразную функцию. Давайте теперь разберемся в его доказательстве.

Доказательство формулы Ньютона-Лейбница

Основная идея заключается в том, чтобы рассмотреть приращение определенного интеграла от $a$ до $x$ при изменении верхнего предела $x$. Для этого надо построить некоторую вспомогательную функцию, выражающую определенный интеграл через переменный верхний предел, и исследовать ее свойства.

• Введем обозначение для определенного интеграла с переменным верхним пределом:
• Получим соотношение для приращения этого интеграла при изменении $x$:
• Перейдя к пределу при стремлении приращения $Δx$ к 0, получим, что $F(x)$ - первообразная исходной функции $f(x)$.

Затем, используя свойство первообразной отличаться на константу, приходим к искомой формуле Ньютона-Лейбница, выражающей определенный интеграл через первообразную функцию.

Таким образом, благодаря установлению этой фундаментальной связи стала возможной широкая практика вычисления определенных интегралов для многих классов функций. Рассмотрим теперь некоторые примеры таких вычислений с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Применение формулы Ньютона-Лейбница

Рассмотрим несколько примеров использования формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов от известных элементарных функций.

Пример 1

Вычислим интеграл от квадрата функции на отрезке от 0 до 1:

Первообразная функции $x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$. Подставляя значения первообразной в конечных точках отрезка интегрирования, получаем искомый интеграл:

Пример 2

Теперь вычислим интеграл от sin(x) от 0 до π:

Здесь в качестве первообразной можно взять функцию $F(x) = -cos(x)$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, находим:

Связь с теоремой о среднем

Интересно отметить глубокую аналогию между формулой Ньютона-Лейбница и теоремой о среднем значении функции на отрезке. А именно, определенный интеграл можно интерпретировать как "среднее значение" первообразной функции на данном отрезке.

Это наблюдение позволяет по-новому взглянуть на природу определенного интеграла и проистекающие из него свойства.

Приложения формулы Ньютона-Лейбница

Благодаря формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл нашел широкое применение во многих областях:

• В физике - для вычисления работы, пути, площадей
• В геометрии - для нахождения объемов и площадей
• В экономике и технике - при моделировании и анализе процессов

Таким образом, формула Ньютона-Лейбница открыла определенному интегралу путь к широкому практическому применению в науке и технике.