Механические гармонические колебания и их характеристики: что нужно знать

Гармонические колебания - явление, широко распространенное в природе и технике. Понимание его сущности позволяет объяснить множество колебательных процессов и использовать их на практике.

Понятие гармонических колебаний

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых физическая величина, характеризующая состояние колебательной системы, изменяется по гармоническому закону - по синусоидальному или косинусоидальному закону. Иными словами, зависимость этой величины от времени описывается тригонометрической функцией.

Классическим примером гармонических колебаний являются колебания математического маятника или пружинного маятника при малой амплитуде, когда силой сопротивления (трением) можно пренебречь. В этом случае уравнение движения имеет решение в виде гармонической функции.

Отличительные свойства гармонических колебаний:

наличие положения устойчивого равновесия;
изохронность - независимость периода колебаний от их амплитуды;
синусоидальный или косинусоидальный характер;
цикличность, периодическая повторяемость;

Благодаря таким свойствам, понятие гармонических колебаний широко используется в физике как удобная математическая абстракция. С гармоническими колебаниями можно с достаточной для практики точностью описать многие реальные колебательные процессы в природе и технике.

Математическое описание

Гармонические колебания и их характеристики описываются дифференциальным уравнением второго порядка, где А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ - начальная фаза.

Его частным решением для координаты точки является косинусоидальная или синусоидальная функция, где x - смещение от положения равновесия, t - время, T - период колебаний.

Из этого уравнения можно получить выражения для скорости и ускорения точки:

Аналогичные зависимости справедливы и для других физических величин, характеризующих колебательный процесс.

Гармонический характер колебаний удобно представлять графически в виде синусоиды - зависимости координаты от времени. Ее параметры (амплитуда, частота, фаза) наглядно видны на рисунке.

Другим наглядным методом является метод вращающегося вектора (векторной диаграммы). Длина вектора соответствует амплитуде колебаний, угол поворота - текущей фазе, проекция на ось Ox - текущей координате точки.

Колебания гармонические колебания уравнения характеристики

Любая колебательная система характеризуется рядом параметров - амплитудой, частотой, фазой и др. Рассмотрим их физический смысл применительно к гармоническим механическим колебаниям.

Амплитуда

Амплитуда A - это наибольшее отклонение колеблющейся системы от положения равновесия. Чем больше начальный "размах" колебаний, тем выше амплитуда. Она характеризует энергию, "запасенную" в системе.

Частота

Частота ν показывает, как быстро происходят колебания - сколько циклов колебаний совершается в единицу времени (секунду). Связана с периодом T соотношением ν = 1/T.

Фаза

Фаза φ определяет "стадию" колебаний в данный момент времени, т.е. текущее отклонение от положения равновесия. Позволяет синхронизировать разные колебательные процессы.

Зная эти характеристики, можно полностью описать состояние гармонически колеблющейся системы и ее эволюцию во времени. Рассмотрим их подробнее далее.

Амплитуда

Зависимость амплитуды от энергии

Как уже было сказано, амплитуда связана с энергией колебательной системы. Чем больше энергии сообщается системе, тем больше ее отклонение от положения равновесия и, следовательно, амплитуда колебаний.

Рассмотрим гармонические колебания груза на пружине. Потенциальная энергия пружины определяется по формуле, где k - жесткость пружины, Δx - ее деформация (удлинение или сжатие).

При амплитуде колебаний A деформация в крайних точках будет равна ±A относительно недеформированного состояния. Следовательно, максимальная потенциальная энергия:

То есть прямо пропорциональна квадрату амплитуды.

Частота

Связь частоты и жесткости системы

Для гармонических колебаний в консервативной системе частота определяется параметрами самой системы.

Например, для колебаний груза на пружине выполняется соотношение:

где m - масса груза, k - жесткость пружины. Чем больше жесткость, тем выше частота колебаний.

Фаза

Сдвиг фазы

Сдвиг фазы показывает разницу фаз между двумя гармоническими колебаниями одинаковой частоты. Он может быть как положительным, так и отрицательным.

Зная сдвиг фаз, можно определить синхронность колебаний различных систем.

Фаза

Изменение фазы со временем

В процессе гармонических колебаний фаза линейно возрастает со временем, где ω - циклическая частота колебаний.

Таким образом, зная частоту, можно в любой момент рассчитать текущую фазу и определить положение системы.

Начальные условия и фаза

Начальная фаза φ₀ зависит от выбора начального момента отсчета и начального положения системы. Она задает "сдвиг" всей косинусоидальной или синусоидальной функции колебаний относительно нулевой фазы.

Фазовый портрет

Фазовый портрет представляет собой зависимость скорости колебаний от координаты. Для гармонических колебаний эта зависимость имеет вид эллипса.

Синхронизация колебаний

Регулируя начальную фазу, можно добиться синхронного протекания колебательных процессов в разных системах. Это важно, например, при передаче колебаний.

Энергия колебаний

Рассмотрим превращения энергии в процессе гармонических колебаний.

Энергия колебаний

Рассмотрим превращения энергии в процессе гармонических колебаний.

Потенциальная и кинетическая энергия

В консервативной колебательной системе происходит периодическое превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Например, для груза на пружине потенциальная энергия зависит от деформации (растяжения) пружины, а кинетическая - от скорости движения груза.

Закон сохранения энергии

Согласно закону сохранения энергии, сумма потенциальной и кинетической энергии в консервативной системе остается постоянной на протяжении всего цикла колебаний:

Это позволяет упростить расчет динамики системы.