Метод градиентного спуска: определение, алгоритм, особенности

Метод градиентного спуска – один из наиболее популярных и широко используемых алгоритмов оптимизации в современном машинном обучении. Он позволяет эффективно находить оптимальные значения параметров модели путем минимизации целевой функции. Давайте подробно разберем, что из себя представляет этот метод.

Сущность метода градиентного спуска

Градиентный спуск относится к методам локальной оптимизации. Его суть заключается в поиске локального минимума функции многих переменных путем движения в направлении антиградиента этой функции. То есть на каждой итерации алгоритма параметры модели обновляются в сторону уменьшения значения целевой функции.

На практике чаще всего в роли целевой функции выступает функция потерь (ошибок) – она отражает, насколько точно текущая модель предсказывает заданные метки классов. Минимизировать эту функцию и означает максимально повысить качество работы модели.

Исторически градиентный спуск восходит к работам Коши и Гаусса. В современном виде он стал использоваться с 1950-х годов. Особенную популярность метод получил в последние десятилетия благодаря бурному развитию глубокого обучения.

Компоненты градиентного спуска

Чтобы разобраться в том, как работает алгоритм градиентного спуска, давайте выделим его ключевые компоненты:

• Целевая функция для оптимизации (минимизации)
• Значение градиента функции в текущей точке
• Скорость обучения (learning rate) – коэффициент, определяющий величину шага
• Алгоритм выбора направления движения
• Критерии остановки работы алгоритма

Рассмотрим подробнее каждый из этих компонентов.

Функция для оптимизации

Как уже отмечалось, на практике в машинном обучении чаще всего в качестве целевой функции используется функция потерь (ошибок) – например, среднеквадратичная ошибка или кросс-энтропия. Она отражает величину расхождения между реальными метками классов в обучающей выборке и предсказаниями текущей модели.

Минимизация функции потерь означает максимальное приближение предсказаний модели к правильным ответам, то есть повышение точности работы модели.

Градиент функции

Градиент функции в данной точке – это вектор частных производных этой функции по всем переменным в этой точке. Он указывает направление наибольшего возрастания функции.

Для нахождения минимума функции нужно двигаться в противоположном направлении – по антиградиенту. Градиент вычисляется на каждом шаге работы алгоритма заново, в зависимости от текущих значений параметров модели.

Скорость обучения

Скорость обучения (learning rate) – это гиперпараметр алгоритма градиентного спуска. Он определяет величину шага, на который будут изменены веса модели в направлении антиградиента.

Чем больше значение скорости обучения, тем сильнее меняются параметры модели на каждой итерации. Слишком высокие значения могут привести к расходимости или «прыжкам» решения. Оптимальный подбор этого параметра – важная задача при использовании градиентного спуска.

Направление движения

На основании вычисленного градиента функции и заданной скорости обучения определяется направление и величина изменения текущих параметров модели на данной итерации алгоритма. Как правило, движение происходит в сторону антиградиента (вниз по поверхности целевой функции).

Но возможны и другие варианты - к примеру, в методе сопряженных градиентов, где учитывается также и предыдущее направление движения.

Критерии остановки

Чтобы алгоритм градиентного спуска не работал вечно, для него задаются определенные критерии остановки, например:

• Достижение минимального значения целевой функции
• Максимальное количество итераций
• Минимальный размер градиента
• Превышение лимита времени работы

При выполнении одного из этих условий алгоритм прекращает работу и возвращает найденное приближенное решение задачи оптимизации.

Основные этапы градиентного спуска

Теперь, когда мы определились с ключевыми компонентами, давайте последовательно разберем, как работает алгоритм градиентного спуска:

1. Инициализация параметров. На первом шаге происходит инициализация параметров оптимизируемой модели машинного обучения. Как правило, им задаются некоторые случайные начальные значения. Этот начальный набор параметров модели и будет затем итеративно улучшаться с помощью градиентного спуска для минимизации выбранной целевой функции.
2. Вычисление градиента функции. Далее на каждой итерации работы алгоритма в текущей точке (со значениями параметров модели на данном шаге) вычисляется градиент оптимизируемой функции. Для этого часто используется техника автодифференцирования, позволяющая эффективно находить производные сложных функций по всем переменным.

Вычисленный градиент функции задает направление ее наибольшего возрастания в окрестности текущей точки.

Обновление весов модели

Зная градиент функции в текущей точке, можно обновить значения параметров (весов) модели с целью приближения к минимуму функции. Для этого значение каждого веса корректируется в направлении антиградиента:

w_new = w_old - α * Δw

где w_new – новое значение веса;
w_old – текущее значение веса; α – скорость обучения; Δw – соответствующая компонента градиента.

Таким образом, скорость обучения определяет величину шага в направлении антиградиента для каждого из параметров модели. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнут локальный минимум целевой функции.

Проверка критерия остановки

После обновления весов модели проверяется выполнение одного из заданных критериев остановки работы алгоритма:

• Достижение минимального порогового значения функции потерь
• Прохождение max количества итераций
• Снижение значения функции меньше заданной величины
• И другие условия

Если ни один из критериев пока не выполнен – происходит переход к следующей итерации градиентного спуска.

Следующая итерация спуска

Если работа алгоритма не была остановлена, происходит вычисление градиента функции уже в обновленной точке со значениями параметров модели, найденными на предыдущей итерации градиентного спуска.

Далее по аналогичной формуле выполняется очередное обновление весов модели с целью еще большего снижения значения оптимизируемой целевой функции.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнут локальный минимум функции либо не выполнится заданный критерий остановки работы алгоритма градиентного спуска.

Возврат результата

Как только выполняется одно из условий остановки, алгоритм завершает работу и возвращает найденный набор оптимальных (или близких к оптимальным) значений параметров обучаемой модели машинного обучения, в которых целевая функция принимает минимальное значение.

Эти параметры модели с наилучшим качеством на обучающей выборке затем могут использоваться для практических задач прогнозирования и анализа данных.