Касательная к окружности перпендикулярна радиусу: основные свойства

Касательная к окружности играет важную роль в геометрии. Она позволяет решать многие задачи на построение, доказательство и вычисление. В этой статье мы подробно рассмотрим основные свойства касательной к окружности и ее взаимное расположение с радиусом.

1. Определение касательной к окружности

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называемую точкой касания. Формально касательную можно определить так:

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Касательная к окружности также может быть определена как предельное положение секущей, когда точки пересечения секущей и окружности сближаются и сливаются в одну точку. На рисунке показано, как при повороте секущей AB она принимает предельное положение — касательную:

В отличие от касательной, секущая пересекает окружность в двух точках. А некоторые прямые вообще не имеют с окружностью общих точек.

Основными свойствами касательной к окружности являются:

• имеет с окружностью только одну общую точку - точку касания;
• перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания;
• не проходит через внутренние точки окружности.

2. Взаимное расположение касательной и радиуса

Одним из важнейших свойств касательной к окружности является ее перпендикулярность радиусу, проведенному в точку касания:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Эту теорему можно доказать методом от противного. Предположим, касательная к окружности и радиус в точке касания не перпендикулярны. Тогда можно опустить из центра окружности перпендикуляр, который будет короче радиуса. Но тогда получается, что касательная имеет с окружностью не одну, а две общие точки - противоречие. Значит, наше предположение неверно и касательная действительно перпендикулярна радиусу.

Из перпендикулярности касательной и радиуса вытекает, что окружность и касательная к ней имеют осевую симметрию относительно этого радиуса.

Еще одно следствие: касательная не может проходить через какую-либо внутреннюю точку окружности, поскольку тогда она была бы секущей. Зато для любой внешней точки через нее можно провести две касательные к данной окружности.

Рассмотрим, как практически построить касательную к окружности. Для этого нужно:

1. Соединить точку касания T и центр окружности O.
2. В точке T построить окружность радиусом OT (с центром в точке O).
3. Найти вторую точку пересечения G этой окружности с прямой OT.
4. Из точек O и G описать окружности радиуса больше OT.
5. Провести прямую через точки пересечения этих окружностей.

Полученная прямая и есть искомая касательная, так как она перпендикулярна радиусу OT.

3. Степень точки относительно окружности

Еще одной важной характеристикой точки по отношению к окружности является степень точки. Для точки, лежащей вне окружности, степень точки относительно этой окружности определяется так:

Степень точки равна квадрату расстояния от этой точки до точки касания любой касательной, проведенной из данной точки к окружности.

4. Взаимное расположение хорды и касательной

Рассмотрим теперь, какой угол образует касательная к окружности с хордой, проведенной через точку касания. Справедлива следующая теорема:

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Эту теорему можно доказать, рассмотрев треугольник, образованный точками касания, центром окружности и концом хорды. Из доказанной теоремы следует, что если хорда параллельна касательной в точке касания, то эта точка делит дугу пополам.

Теорему о хорде и касательной можно использовать при решении геометрических задач, когда требуется найти угол между хордой и касательной или определить величину заключенной между ними дуги.

5. Теорема о произведении отрезков секущей

Еще один важный результат, связывающий касательную и секущую к окружности:

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательного отрезка.

Фактически, это частный случай теоремы о произведении отрезков хорд. Доказательство проводится с помощью построения вспомогательных отрезков и использования свойств подобных треугольников.

Данная теорема позволяет находить длины отрезков во многих задачах на построение к окружности секущей и касательной из одной точки. Рассмотрим несколько примеров.

6. Построение касательной к двум окружностям

Рассмотрим теперь более сложный случай - касательные одновременно к двум заданным окружностям. Таких касательных может быть от 0 до 4. Различают:

• внешние касательные, не проходящие между окружностями;
• внутренние касательные, проходящие между окружностями.

Для построения внешней касательной можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Найти разность радиусов окружностей.
2. Начертить окружность этого радиуса с центром в центре бОльшей окружности.
3. Построить к ней касательную из центра меньшей окружности.
4. Параллельно перенести эту касательную к исходным окружностям.

Аналогично строятся внутренние касательные. При отрицательном радиусе меньшей окружности получаются все 4 касательных.