Смежные углы: определение, свойства, примеры
Геометрия является фундаментальной наукой, без знания которой невозможно представить современный мир. В основе геометрии лежат такие базовые понятия, как углы и их свойства. Давайте разберемся, что представляют собой смежные углы, каковы их свойства и где они применяются на практике.
Определение смежных углов
Прежде чем перейти непосредственно к определению смежных углов, давайте вспомним, что из себя представляет угол в геометрии и какие элементы он включает:
- Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки
- Элементы угла: Вершина угла – точка пересечения двух лучей Стороны угла – два луча, образующие угол
Теперь можно дать определение смежных углов:
Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие две стороны являются продолжением друг друга.
На рисунке ниже смежные углы выделены разными цветами. У них общая сторона ОВ, а стороны ОА и ВС являются продолжениями друг друга.
| Смежные углы | Общие элементы |
| ∠АОВ и ∠ВОС | Сторона ОВ |
Свойства смежных углов
Рассмотрим основные свойства смежных углов:
- Теорема о сумме смежных углов: сумма смежных углов равна 180°
- Формула: ∠АОВ + ∠ВОС = 180°
- Следствия из теоремы:
- Если один из смежных углов прямой (90°), то и второй смежный угол прямой Если один из смежных углов острый, то второй тупой и наоборот
- Если два угла равны, то равны и смежные с ними углы
- Тригонометрические свойства смежных углов
- Синусы смежных углов равны Косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов равны по модулю, но имеют разные знаки
Давайте докажем одно из важнейших свойств смежных углов - теорему о сумме смежных углов:
Доказательство. Пусть ∠АОВ и ∠ВОС - смежные углы. Проведем прямую АС, являющуюся продолжением сторон этих углов. Получится развернутый угол ∠АОС, равный 180°. Но ∠АОС является суммой смежных углов ∠АОВ и ∠ВОС. Значит, ∠АОВ + ∠ВОС = 180°. Теорема доказана.
Таким образом, смежные углы образуют в сумме развернутый угол, равный 180°, что является их фундаментальным свойством.
Применение смежных углов в строительстве
В строительстве смежные углы часто используются при возведении различных конструкций - зданий, мостов, эстакад и т.д. Рассмотрим несколько примеров.
Расчет углов при строительстве многогранных зданий
При проектировании многогранных высотных зданий архитекторы часто задаются определенным значением угла между гранями. Например, угол должен быть равен 150°. Тогда по теореме о сумме смежных углов можно легко посчитать, что смежный угол будет равен 180° - 150° = 30°. Это нужно для правильного расчета конструкции.
Проверка углов между опорами мостов и эстакад
При строительстве мостов важно, чтобы углы между опорными балками были рассчитаны правильно. Используя знание о свойствах смежных углов, строители могут контролировать эти параметры во время возведения конструкций и вносить корректировки.
Построение чертежей и эскизов
Дизайнеры часто используют свойства смежных углов при построении чертежей и эскизов различных объектов - логотипов, мебели, элементов ландшафтного дизайна. Это помогает правильно рассчитать пропорции и расположение деталей.
Раскрой материала
При раскрое материала (дерево, металл, ткань) также применяются знания о смежных углах для минимизации отходов и экономного использования материалов.