Среднее геометрическое двух чисел: понятие, как найти

Среднее геометрическое двух чисел - это такая величина, которая при перемножении сама на себя дает произведение этих двух чисел. Формальное определение звучит так: среднее геометрическое двух положительных чисел a и b это такое число x, что выполняется равенство:

x² = a * b

Вычисление среднего геометрического

Для вычисления среднего геометрического двух чисел используется формула:

x = √(a * b)

Где:

• a и b - два заданных положительных числа
• x - искомое среднее геометрическое этих чисел

Например, чтобы найти среднее геометрическое чисел 8 и 32 нужно вычислить:

x = √(8 * 32) = √256 = 16

Свойства среднего геометрического двух чисел

У среднего геометрического двух чисел есть несколько полезных свойств:

1. Среднее геометрическое двух чисел не может превышать их среднее арифметическое
2. Среднее геометрическое двух чисел всегда меньше или равно наибольшему из этих чисел
3. Если одно из чисел становится больше, а другое меньше, при неизменном их произведении, то среднее геометрическое этих чисел не меняется

Последнее свойство показывает, что среднее геометрическое устойчиво к таким изменениям исходных чисел, которые сохраняют их произведение. Это важное практическое применение среднего геометрического.

Применение среднего геометрического

Среднее геометрическое широко используется в математике, экономике, статистике и других областях. Вот некоторые типичные задачи, где применяется среднее геометрическое двух чисел:

• Вычисление средних темпов роста или прироста величины
• Определение средней производительности работы двух устройств
• Нахождение средней оценки или балла по двум показателям
• Вычисление средней скорости движения тела при двух разных скоростях
• Оценка среднего уровня или показателя, зависящего от произведения двух величин

В этих и многих других задачах среднее геометрическое позволяет получить обобщенную характеристику двух исходных величин с учетом их произведения.

Среднее геометрическое vs среднее арифметическое

Хотя среднее геометрическое и среднее арифметическое являются разными характеристиками двух чисел, иногда их путают или неправильно выбирают нужный вид среднего. Давайте разберем их отличия:

Как видно из таблицы, оба вида средних используются в разных ситуациях и дополняют друг друга. Главное - правильно выбрать нужный метод в зависимости от природы усредняемых величин.

Подводя итог, отметим, что среднее геометрическое двух чисел - простой и эффективный инструмент для многих математических задач. Полное понимание его свойств и особенностей в сравнении со средним арифметическим позволит применять его с максимальной пользой.

Доказательство формулы среднего геометрического двух чисел

Давайте докажем формулу для вычисления среднего геометрического двух чисел:

x = √(a * b)

Из определения среднего геометрического имеем:

x² = a * b

Возводя обе части равенства в квадратный корень, получаем:

x = √(a * b)

Что и требовалось доказать. Таким образом, формула вытекает непосредственно из самого определения среднего геометрического.

Неравенство для среднего геометрического двух чисел

Рассмотрим неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для двух чисел a и b:

√(a * b) ≤ (a + b) / 2

Для проверки возведем каждую часть неравенства в квадрат:

(a * b) ≤ [(a + b) / 2]²

Преобразуем правую часть:

(a * b) ≤ (a² + 2ab + b²) / 4

Приравняем коэффициенты при одинаковых членах в обеих частях неравенства. Получим:

1 ≤ 1
2 ≥ 4 1 ≤ 1

Так как 2 ≥ 4 не выполняется, то данное неравенство неверно. Таким образом для среднего геометрического и среднего арифметического двух чисел такого неравенства нет.

Геометрическая интерпретация среднего геометрического

Рассмотрим геометрический смысл среднего геометрического на примере прямоугольного треугольника:

Пусть a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.

Согласно теореме Пифагора:

a² + b² = c²

Извлекая квадратный корень из обеих частей:

√(a² * b²) = c

Поскольку √(a²) = |a|, а √(b²) = |b|, то:

√(|a| * |b|) = c

Получаем, что гипотенуза c есть среднее геометрическое катетов a и b. Это важное геометрическое представление среднего геометрического двух отрезков.

Обобщение на большее количество чисел

Формулу среднего геометрического можно обобщить с двух чисел на произвольное количество:

GM_n = √(a₁ * a₂ * ... * a_n)

Где GM_n - среднее геометрическое n чисел a₁, a₂, ..., a_n.

Доказательство этой формулы полностью аналогично доказательству для двух чисел. Такое обобщение позволяет вычислять среднее геометрическое сколь угодно большого набора положительных чисел.

Вычисление среднего геометрического в Excel

В Excel среднее геометрическое вычисляется с помощью функции ГЕОМСРЕД():

=ГЕОМСРЕД(число1;число2;...)

Где число1, число2 - исходные значения. Например, чтобы найти среднее геометрическое чисел 3, 6 и 9, формула будет:

=ГЕОМСРЕД(3;6;9)

Результат - 6. Это очень удобный способ быстро находить среднее геометрическое в таблицах Excel.