Сумма углов трапеции: свойства, вычисления

Геометрия - фундаментальная наука, изучающая формы и размеры объектов в пространстве. Одной из базовых геометрических фигур является трапеция. Знание свойств трапеции, в частности суммы ее углов, крайне важно для решения множества задач не только в геометрии, но и в смежных областях - физике, архитектуре, строительстве.

Определение трапеции

Трапеция - это четырехугольник, у которого ровно одна пара противоположных сторон параллельна. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции, а другие две стороны – боковыми сторонами.

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны [1].

Помимо этого классического определения, иногда под трапецией понимают любой выпуклый четырехугольник с хотя бы одной парой параллельных сторон. В этом случае к трапециям относят и параллелограмм, и прямоугольник, и ромб. Однако при таком подходе для трапеции перестают выполняться многие из рассматриваемых далее свойств.

Основными элементами трапеции являются:

• Основания AD и BC
• Боковые стороны AB и CD
• Высоты
• Средняя линия
• Диагонали

Различают несколько видов трапеций:

1. Равнобедренная трапеция - боковые стороны равны
2. Прямоугольная трапеция - имеет хотя бы один прямой угол
3. Тупоугольная трапеция - имеет тупой угол при большем основании

Общие свойства трапеции

Для любой трапеции выполняются следующие свойства, связанные с суммой ее углов:

1. Сумма внутренних углов трапеции равна 360°:
   \(\displaystyle \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\)
2. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°: \(\displaystyle \angle B + \angle C = 180^\circ\)

Таким образом, углы трапеции могут быть:

• Острыми
• Прямыми
• Тупыми

При этом в паре противолежащих углов один всегда острый, а другой тупой. Исключение составляет прямоугольная трапеция, в которой оба противолежащих угла прямые.

Свойства равнобедренной трапеции

Для равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC выполняются дополнительные свойства:

1. Углы при основании равны: \(\displaystyle \angle A = \angle D\), \(\displaystyle \angle B = \angle C\)
2. Сумма углов, прилежащих к большему основанию, равна 180°: \(\displaystyle \angle A + \angle D = 180^\circ\)

Формулы углов равнобедренной трапеции

Исходя из свойств равнобедренной трапеции, можно получить формулы для вычисления ее углов через другие элементы:

1. Угол при основании через высоту h и боковую сторону a: \(\displaystyle \angle A = \angle D = \arctan \left(\frac{h}{a}\right)\)
2. Угол через нижнее основание c, боковую сторону b и диагональ d: \(\displaystyle \angle B = \angle C = \arccos\left(\frac{b^2+c^2-d^2}{2bc}\right)\)
3. Угол через нижнее основание a, среднюю линию m и боковую сторону b: \(\displaystyle \angle A = \angle D = \arctan\left(\frac{m-a}{b}\right)\)

Задачи на углы равнобедренной трапеции

Рассмотрим несколько примеров типовых задач на вычисление углов равнобедренной трапеции:

• Дана равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 14 см, боковой стороной 5 см. Найти ее угол при основании. Решение: Применяем формулу \(\displaystyle \angle A = \arctan\left(\frac{m-a}{b}\right)\), где a = 10 см, b = 5 см, средняя линия m = (10+14)/2 = 12 см. Подставляем в формулу и находим искомый угол: \(\displaystyle \angle A = \arctan\left(\frac{12-10}{5}\right) = 48^{\circ}\).
• В равнобедренной трапеции угол при большем основании 55°, а меньшее основание 7 см. Найти боковую сторону, если высота, проведенная к этому основанию равна 4 см.

Площадь равнобедренной трапеции

Одно из важных практических применений формул углов - вычисление площади равнобедренной трапеции. Площадь выражается через основания a и b и угол \(\alpha\):

\(S = \frac{a+b}{2}h\), где \(h = b\sin\alpha\) - высота трапеции.

Зная угол, можно найти высоту, а затем и площадь.

Прямоугольная трапеция

Еще один распространенный вид трапеции – прямоугольная трапеция. У нее есть хотя бы один прямой угол.

Различают несколько видов прямоугольных трапеций:

1. Трапеция с одним прямым углом
2. Трапеция с двумя прямыми углами
3. Равнобедренная прямоугольная трапеция

В зависимости от количества прямых углов, различаются формулы для вычисления углов прямоугольной трапеции.

Формулы углов однопрямоугольной трапеции

Для прямоугольной трапеции с одним прямым углом справедливы формулы:

1. Острый угол при меньшем основании:

\(\alpha = \arctan \left(\frac{a-b}{c}\right)\)
1. Тупой угол при большем основании:

\(\beta = 180^\circ – \arctan \left(\frac{a-b}{c}\right)\)

где a и b - основания трапеции, c - боковая сторона.

Вычисление углов двухпрямоугольной трапеции

Если у трапеции два прямых угла, то оставшиеся два угла острые. Для их вычисления используются формулы:

1. \(\alpha = 90^\circ - \arctan\left(\frac{a-b}{c}\right)\)
2. \(\beta = 90^\circ - \arctan\left(\frac{a-b}{d}\right)\)

где c и d - боковые стороны трапеции.