Что такое "вертикальный угол" в геометрии: определение и свойства
Вертикальные углы - важное понятие в геометрии, знание которого необходимо для решения многих задач. Давайте разберемся, что же такое вертикальные углы, в чем их особенности и как можно применить их свойства на практике.
Определение вертикальных углов
Вертикальными называются два угла с общей вершиной, стороны одного из которых являются продолжением сторон другого. Иными словами, это углы, расположенные напротив друг друга при пересечении двух прямых.
Представим две пересекающиеся прямые AB и CD. Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными, так как сторона OA прямой AB является продолжением стороны OC прямой CD, а сторона OB является продолжением стороны OD.
Аналогично вертикальными являются углы ∠AOB и ∠COD, которые тоже расположены напротив друг друга относительно точки пересечения O двух прямых.
Основные свойства вертикальных углов
У вертикальных углов есть два важных свойства, которые часто используются при решении геометрических задач:
- Вертикальные углы равны
- Сумма вертикальных углов всегда равна 180°
Эти свойства можно записать в виде формул:
- \(\angle \alpha = \angle \beta\)
- \(\angle \alpha + \angle \beta = 180°\)
где \(\angle \alpha\) и \(\angle \beta\) - вертикальные углы.
Докажем справедливость этих утверждений.
Пусть при пересечении двух прямых AB и CD образовались углы ∠AOD и ∠BOC (рисунок выше). Эти углы вертикальные. Рассмотрим также углы ∠AOD и ∠COD, которые являются смежными. Согласно свойству смежных углов, их сумма равна 180°:
\(\angle AOD + \angle COD = 180°\)
Подставим это равенство в выражение для вертикальных углов ∠AOD и ∠BOC:
\(\angle AOD + \angle BOC = 180°\)
Получаем:
\(\angle AOD + \angle COD = \angle AOD + \angle BOC\)
Сократив общий угол \(\angle AOD\), приходим к выводу о равенстве вертикальных углов \(\angle BOC = \angle COD\).
Аналогично доказывается второе свойство вертикальных углов о том, что их сумма всегда равна 180°.
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих практическое применение свойств вертикальных углов при решении задач.
Нахождение одного вертикального угла через другой
Из свойства равенства вертикальных углов следует, что если известна мера одного из них, то мера другого вертикального ему угла будет такой же.
Например, угол ∠1 равен 40°. Тогда угол ∠3, как вертикальный ему, тоже равен 40°.
Вычисление углов при пересечении прямых
При пересечении двух прямых образуется четыре угла. Зная меру одного из них, можно найти меры остальных, используя свойства смежных и вертикальных углов.
Допустим, сумма вертикальных углов ∠1 и ∠3 равна 140°. Значит, каждый из этих углов равен 140°:2 = 70°. А остальные два угла ∠2 и ∠4, как вертикальные ∠1 и ∠3 соответственно, тоже будут равны 70°.
Доказательства в геометрических задачах
Свойства вертикальных углов часто используются при доказательствах в геометрии. Например, чтобы показать, что две прямые параллельны или два треугольника подобны.
Решение задач на вертикальные углы
Рассмотрим задачу на применение свойств вертикальных углов.
Задача 1. Дан четырехугольник ABCD. Угол ADB равен 50°, а ДВС = 40°. Найти угол СДА.
Решение. Углы ДВС и СДА вертикальные, так как стороны BD и AD этих углов лежат на одной прямой BC. По свойству вертикальных углов СДА = 40°.
Вертикальные углы в стереометрии
Понятие вертикальных углов применимо не только к плоским, но и к пространственным фигурам. Что такое вертикальный угол в стереометрии? Рассмотрим на примере.
Пусть дана прямая MN и плоскость PQR. Если плоскость пересекает прямую, то образуется угол между этой прямой и пересекающей плоскостью. Этот угол называется вертикальным углом прямой относительно плоскости.
Вертикальные углы многогранников
Рассмотрим понятие вертикальных углов применительно к многогранникам. Пусть дан куб ABCDA1B1C1D1. Проведем через ребро А1В1 плоскость PQR, параллельную грани ABCD. Тогда плоскость PQR пересечет ребра куба и образует с ними углы.
Углы между ребрами куба А1В1, В1С1, С1D1 и плоскостью PQR являются вертикальными углами. Согласно определению, их стороны лежат на ребрах куба, которые пересекает плоскость PQR.
Построение вертикальных углов
Для наглядной демонстрации свойств вертикальных углов можно использовать практические задания на построение таких углов в пространстве. Например, на модели куба или параллелепипеда.
Для этого достаточно взять модель куба и пересечь его ребра плоскостью, параллельной одной из граней. Полученные таким образом углы между ребрами фигуры и пересекающей плоскостью будут демонстрировать свойство вертикальных углов.
Вертикальные сечения многогранников
Особый практический интерес представляют вертикальные сечения многогранников. Если провести через многогранник плоскость, перпендикулярную одному из его ребер или граней, то получится сечение, в котором углы этого сечения будут вертикальными углами исходной фигуры.
Например, при построении аксонометрических проекций часто используют вертикальные сечения для наглядного изображения внутренней структуры объекта.