Как решать дифференциальные уравнения: правила и примеры
Дифференциальные уравнения - мощный математический аппарат, позволяющий моделировать различные процессы в физике, химии, биологии, экономике и других областях. Специалисты многих серьезных сфер деятельности успешно используют дифференциальные уравнения в своей непосредственной работе. Однако для многих они кажутся чем-то сложным и непонятным. В этой статье мы разберем основные типы дифференциальных уравнений и рассмотрим конкретные примеры их решения. Поехали!
Что такое дифференциальные уравнения и где они применяются
Дифференциальное уравнение - это уравнение, содержащее неизвестную функцию и ее производные. Например:
y′ + y = 3x
Здесь y = f(x) - искомая функция, а y′ - ее производная. Решая такое уравнение, мы находим функцию y(x), которая удовлетворяет данному соотношению.
В чем же польза дифференциальных уравнений и где они используются? Дело в том, что производная функции характеризует скорость ее изменения. А многие реальные процессы как раз и подчиняются некоторым "правилам изменения". Учитывая эти правила в виде диффуров, мы можем моделировать поведение сложных систем.
Например, в экономике с помощью дифференциальных уравнений описывают динамику спроса и предложения, моделируют экономический рост, инфляцию, безработицу. В биологии с их помощью изучают рост популяций животных, распространение эпидемий и другие процессы. А в физике уравнения такого типа лежат в основе многих законов движения, колебаний, распространения волн и т.д.
Основные типы дифференциальных уравнений
Рассмотрим наиболее важные типы дифференциальных уравнений:
- Уравнения с разделяющимися переменными
- Однородные дифференциальные уравнения
- Линейные дифференциальные уравнения
- Нелинейные уравнения (Бернулли, Риккати)
- Системы дифференциальных уравнений
Первые три типа относятся к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Это наиболее простые для изучения случаи. Уравнения Бернулли и Риккати принадлежат к нелинейным. А системы диффуров содержат сразу несколько уравнений.
Как правило, для решения разных типов дифференциальных уравнений применяют свои специальные методы. Далее мы подробно разберем алгоритмы решения на конкретных примерах.
Общий алгоритм решения дифференциальных уравнений
Тем не менее, можно выделить несколько общих правил, которые часто помогают при решении диффуров:
- Попробовать разделить переменные, то есть выделить все члены, содержащие только функцию y(x) в левую часть, а все члены, зависящие только от x - в правую.
- Если переменные не разделяются, можно попробовать сделать замену переменных (подстановку), чтобы упростить уравнение.
- Для линейных однородных дифференциальных уравнений используется метод вариации произвольных постоянных.
- А для неоднородных линейных диффуров применяют метод неопределенных коэффициентов.
Эти общие подходы помогут сориентироваться с выбором метода решения конкретного дифференциального уравнения. Рассмотрим теперь их применение на практике.
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Начнем с простейшего случая - как решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Такие уравнения можно легко решить в три шага:
- Разделить все члены, содержащие y(x), в левую часть, а все члены, зависящие от x - в правую часть;
- Проинтегрировать каждую часть по соответствующей переменой - y или x;
- Решить получившееся уравнение относительно функции y(x).
Рассмотрим конкретный пример из физики. Пусть некоторое тело движется под действием постоянной силы F, пропорциональной его скорости v. Требуется найти зависимость координаты x(t) этого тела от времени.
Из закона Ньютона для данного случая получаем дифференциальное уравнение:
Решение дифференциального уравнения из примера
Итак, запишем это уравнение:
m\frac{dv}{dt} = -kv
Здесь m - масса тела, v - его скорость, k - коэффициент пропорциональности. Данное уравнение относится к типу с разделяющимися переменными. Выполним разделение:
m\frac{dv}{v}=-kdt
Теперь проинтегрируем левую и правую часть. Получим:
m\ln|v| = -kt+C
Где C - интеграционная константа. Решая это уравнение относительно skorosti v, находим:
v = Ce^{-kt/m}
Это и есть решение нашего дифференциального уравнения. Как видим, всего за три шага удалось решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и получить искомое выражение для скорости.
Применение дифференциальных уравнений в экономике
Рассмотрим еще один практический пример, на этот раз из области экономики. Предположим, у our фирмы функция предложения некоторого товара задается формулой Q = 2P - 5. Здесь Q - объем предложения товара в штуках, а P - его цена. Требуется найти эластичность предложения по цене в точке P = 3.
Напомним, что эластичность предложения по цене равна:
E_p = \frac {dQ/dP} {Q/P}
Подставляя числовые значения и функцию предложения, получаем дифференциальное уравнение:
E_p = \frac{2}{2P - 5} при P = 3
Окончательный ответ: эластичность предложения по цене равна 1. Здесь для решения диффура достаточно было simply подставить значение P и вычислить выражение.
Метод вариации произвольных постоянных для линейных ДУ
Еще один распространенный прием решения дифференциальных уравнений - метод вариации произвольных постоянных. Он используется для решения линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка.
Пусть, например, необходимо решить уравнение вида:
y′ + p(x)y = 0
Согласно методу вариации постоянных, общее решение ищется в виде y = C(x)e^{\int p(x)dx}, где C(x) - некоторая функция. Подставляя это выражение для y в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, находится вид функции C(x) и общее решение y.
Неоднородные уравнения и метод неопределенных коэффициентов
Если линейное дифференциальное уравнение является неоднородным, то для его решения используют метод неопределенных коэффициентов.
Например, пусть задано уравнение:
y′ + 5y = 2x + 10
Согласно методу, частное решение для неоднородной части ищется в виде y = Ax + B. Подставляя это выражение в уравнение и приравнивая коэффициенты, находятся значения A и B. Затем к частному решению добавляется решение соответствующего однородного уравнения.
Качественный анализ решений нелинейных дифференциальных уравнений
Данный метод позволяет достаточно просто решать линейные дифференциальные уравнения.