Как записать многочлен в стандартном виде: примеры

Алгебра играет значимую роль в нашей повседневной жизни. Понимание основ работы с многочленами - необходимость как для школьников, так и для тех, кто занимается освоением программирования, физики и многих других наук.

1. Понятие многочлена и его стандартный вид

Для начала давайте разберемся, что такое многочлен и его стандартный вид.

Многочлен - это математическое выражение, представляющее собой сумму нескольких одночленов. Одночлен - это произведение числовых коэффициентов на переменные, возможно, в каких-то степенях. Например:

• 5x + 3y - многочлен, состоящий из двух одночленов 5x и 3y;
• 2x²y - одночлен с числовым коэффициентом 2 и переменными x и y;
• 125a⁴b² - одночлен с коэффициентом 125 и переменными a и b в степенях 4 и 2.

Стандартный вид многочлена - это такая его запись, в которой выполнены два условия:

1. Каждый одночлен имеет стандартный вид (число стоит перед переменной, переменные записаны в алфавитном порядке);
2. В многочлене отсутствуют подобные одночлены (одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом).

Например, многочлен 3x + 5y + 2x находится в стандартном виде, так как его одночлены имеют стандартный вид, и подобных одночленов нет. А многочлен y + 3x + 2xy не является стандартным, поскольку одночлен 2xy не имеет стандартного вида записи.

2. Шаги приведения многочлена к стандартному виду

Как записать многочлен в стандартном виде? Для этого необходимо выполнить два шага:

1. Привести все одночлены многочлена к стандартному виду (число перед переменными, переменные по алфавиту);
2. Привести подобные одночлены (сложить одночлены с одинаковыми переменными).

Рассмотрим пример приведения к стандартному виду многочлена y + 3b + 4xy - 2yx.

На первом шаге приводим одночлены к стандартному виду. Одночлены y и 3b уже записаны верно. А вот одночлены 4xy и -2yx нужно преобразовать так, чтобы переменные были написаны по алфавиту:

y + 3b + 4xy - 2yx = y + 3b + 2xy - 4xy.

На втором шаге приводим подобные одночлены 2xy и -4xy, складывая их коэффициенты:

y + 3b - 2xy.

Получили многочлен в стандартном виде!

В некоторых случаях один из шагов может отсутствовать. Например, если все одночлены изначально записаны стандартно, то первый шаг пропускается. А если подобных одночленов нет, то нет необходимости во втором шаге.

3. Примеры приведения разных многочленов к стандартному виду

Рассмотрим несколько конкретных примеров приведения многочленов к стандартном виду.

Пример 1. Приведем к стандартному виду многочлен z + 5yz + 3zy:

1. Приводим одночлены к стандартному виду. Все одночлены уже записаны верно.
2. Приводим подобные одночлены: z + 5yz + 3zy = z + 8yz.

Ответ: z + 8yz.

Пример 2. Приведем многочлен (2x - 3)(x + 5):

1. Раскроем скобки по правилам умножения: (2x - 3)(x + 5) = 2x·x - 3·x + 2x·5 - 3·5
2. Приведем одночлены к стандартному виду: 2x^2 - 3x + 10x - 15
3. Приведем подобные одночлены: 2x^2 + 7x - 15

Ответ: 2x^2 + 7x - 15.

Пример 3. Запишем в стандартном виде: 4x2y-3 - 2xy4 + 3x3

Решение:

1. Приводим одночлены к стандартному виду: 4x2y-3 - 2x4y + 3x3
2. Приводим подобные одночлены: нет

Ответ: 4x2y-3 - 2x4y + 3x3

Как видно из примеров, приведение разных многочленов к стандартному виду может включать в себя раскрытие скобок, приведение отрицательных степеней к положительным дробям, работу с рациональными коэффициентами и т.д.

Главное - четко знать два шага преобразования и применять их до получения нужного результата.

4. Работа с отрицательными коэффициентами и степенями

Рассмотрим особенности приведения к стандартному виду многочленов, содержащих отрицательные коэффициенты и степени.

Пример 4. Запишем в стандартном виде: -3x2y + 5xy2 - 2x3

Решение:

1. Приводим одночлены к стандартному виду: уже записаны верно
2. Приводим подобные одночлены: нет

Ответ: -3x2y + 5xy2 - 2x3

Как видим, наличие отрицательных коэффициентов не влияет на общий порядок действий.

5. Работа с дробными коэффициентами

Пример 5. Приведем к стандартному виду: 1/2 x3 - 3/4 x2y + 2xy

Решение:

1. Приводим одночлены к стандартному виду: уже записаны верно
2. Приводим подобные одночлены: нет

Ответ: 1/2 x3 - 3/4 x2y + 2xy

Дробные коэффициенты тоже не меняют общего алгоритма приведения к стандартному виду.

6. Работа с корнями и другими операциями

Пример 6. Запишем в виде многочлена: x + √5xy + (3x + 2y)2

Решение:

1. Раскроем скобки и возведение в степень: x + √5xy + (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2
2. Приведем одночлены к стандартному виду: x + √5xy + 9x2 + 12xy + 4y2
3. Приводим подобные одночлены: нет

Получили многочлен стандартного вида с корнем.

7. Приведение нулевых многочленов

Особый случай - так называемые нулевые многочлены, все одночлены которых взаимно уничтожаются. Например:

x + 3x - 4x

После приведения подобных одночленов получаем:

0

То есть многочлен, тождественно равный нулю. Такие многочлены тоже записывают в виде числа 0.

8. Применение при решении уравнений

Рассмотрим, как приведение к стандартному виду может быть полезно при решении уравнений.

Например, нужно решить уравнение:

x + 3x - 5(x + 1) = 0

Для начала запишем левую часть в виде многочлена и запишем его в стандартном виде:

x + 3x - 5x - 5 = x - 2x - 5

Теперь можно приравнять многочлен к нулю и решить уравнение:

x - 2x - 5 = 0

x - 2x = 5

-x = 5

x = -5

Ответ: x = -5

9. Применение при нахождении производной

Приведение многочлена к стандартному виду также необходимо перед нахождением производной.

Например, найдем производную многочлена:

2x3y + x2y2 - 3xy + 1

Сначала запишем его в виде:

2x3y + x2y2 - 3xy

А затем дифференцируем:

6x2y + 2xy2 - 3y

10. Применение при интегрировании

Аналогично, перед интегрированием многочлена важно предварительно записать его в стандартном виде.

Пусть нужно найти неопределенный интеграл:

∫(x2 + 2x - 3)dx

Преобразуем подынтегральное выражение:

∫(x2 + 2x - 3)dx = ∫(x2 + 2x)dx - ∫3dx

Теперь интегрирование не составляет труда:

= (x3/3 + x2) - 3x + C