Дробные рациональные уравнения: примеры с решениями

Дробно-рациональные уравнения на первый взгляд кажутся сложными и запутанными. На самом деле, их решение вовсе не является сложной задачей, если знать определенную методику. Давайте разберем, что представляют собой дробно-рациональные уравнения, почему важно уметь их решать и какой алгоритм следует использовать на практике.

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными называют уравнения, которые можно представить в виде:

P(x) и Q(x) - выражения, содержащие переменную x .

То есть дробно-рациональные уравнения обязательно включают хотя бы одну дробь с переменной в знаменателе.

Пример дробно-рационального уравнения:
\dfrac{x+3}{x-2} = \dfrac{x^2+1}{x+5}

Зачем нужно уметь решать такие уравнения

Навык решения дробно-рациональных уравнений необходим по нескольким причинам:

• Это часть школьной программы по алгебре
• Такие задачи часто встречаются на экзаменах и олимпиадах
• Умение решать дробно-рациональные уравнения помогает лучше понимать более сложные разделы математики
• Такая техника применима для решения прикладных задач в физике, химии, экономике

Короче говоря, это важный базовый навык, которым необходимо овладеть.

Алгоритм решения

Рассмотрим стандартный алгоритм действий при решении дробно-рациональных уравнений:

1. Выписать и определить область допустимых значений (ОДЗ)
2. Найти общий знаменатель для дробей
3. Умножить каждый член уравнения на полученный знаменатель
4. Записать уравнение со скобками, раскрыть скобки
5. Найти корни полученного уравнения
6. Выполнить проверку корней по ОДЗ
7. Записать ответ

Давайте разберем этот алгоритм на конкретном числовом примере.

Пример решения

Рассмотрим дробно-рациональное уравнение:

\dfrac{x+1}{x-2} + \dfrac{2x+3}{x-2} = 6

Сначала определяем ОДЗ. В нашем случае нельзя подставлять такие x , при которых знаменатель обращается в 0, то есть x ≠ 2.

Далее находим общий знаменатель дробей: (x - 2) .

Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

(x+1) + (2x + 3) = 6(x - 2)

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:

3x + 4 = 6x - 12 3x - 6x = -12 - 4 -3x = -16 x = 16/3 = 6

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 6.

Как видите, ничего сложного, просто нужно придерживаться алгоритма и не пропускать важные шаги вроде проверки ОДЗ.

Типовые задачи с решением

Для лучшего усвоения материала давайте решим еще несколько задач на дробно-рациональные уравнения с подробным разбором.

Задача 1

Решите уравнение:

\dfrac{2x+1}{x+3} - \dfrac{3x-5}{x+3} = \dfrac{x+5}{x}

Решение. Находим общий знаменатель: (x+3) .

Умножаем все части уравнения на него:

(2x + 1) - (3x - 5) = (x + 5)

Группируем слагаемые:

2x - 3x = x + 5 - 1 -x = 4 x = -4

Проверка: подстановка x = -4 в исходное уравнение дает верное равенство.

Ответ: x = -4.

Задача 2

Решите дробно-рациональное уравнение:

\dfrac{x^2+x}{x^2-9} - \dfrac{x}{x+3} = 2

Решение. Приводим дроби к общему знаменателю (x^2 - 9) :

\dfrac{(x^2+x)(x+3)}{(x^2-9)(x+3)} - \dfrac{(x^2-9)x}{(x^2-9)(x+3)} = 2(x^2-9)

Сокращаем и группируем:

x^2 + x - x = 2x^2 - 18 -x^2 + x + 18 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение, используя формулы корней или разложение на множители. Получаем ответ: x = -3.

рациональные уравнения примеры с решениями

Итак, мы разобрались, что такое дробно-рациональные уравнения, зачем они нужны и как их решать по шагам на практических примерах.

Как видите, в целом это не сложная тема, главное - выработать системный подход, знать алгоритм и регулярно решать задачи на закрепление материала.

В следующих частях статьи мы еще больше углубимся в эту тему и рассмотрим:

• Дополнительные приемы решения
• Сложные и нестандартные задачи
• Применение дробно-рациональных уравнений на практике

А сейчас предлагаю вам самостоятельно потренироваться в решении таких уравнений на предложенных онлайн-ресурсах.

Дополнительные приемы решения

Помимо стандартного алгоритма, существуют и другие эффективные приемы решения дробно-рациональных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

Метод замены переменной

Суть этого метода в том, чтобы ввести новую переменную и выразить через нее исходную. Это позволяет в ряде случаев упростить уравнение.

Например, при решении уравнения:

\dfrac{x^2+5x+6}{x+3} = \dfrac{2x+3}{x-2}

Вводим замену x+3=t. Тогда получаем более простое уравнение:

\dfrac{t^2+2}{t} = \dfrac{2t-1}{t-5}

Которое легко решается стандартным методом.

Графический метод

Еще один эффективный подход - построение графиков функций.

Например, можно построить графики левой и правой частей уравнения. Точки их пересечения как раз и будут корнями.

Этот геометрический метод хорошо использовать для проверки найденных алгебраическим путем корней.

Использование дробно-рациональных уравнений на практике

Хотя дробно-рациональные уравнения - это в первую очередь математическая абстракция, они находят применение и в реальных задачах из самых разных областей.

Задачи из физики

Многие физические процессы описываются дробно-рациональными уравнениями. Например, уравнение для расчета сопротивления проводников при параллельном соединении имеет вид:

R = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R1} + \dfrac{1}{R2}}

Где R1 и R2 - сопротивления отдельных проводников. Чтобы найти эквивалентное сопротивление R, нужно решить это дробно-рациональное уравнение.

Экономические расчеты

В экономике дробно-рациональные уравнения применяются, например, при анализе спроса и предложения. Рассмотрим модель линейного спроса:

Q = \dfrac{a-bP}{P}

Где Q - величина спроса, P - цена, a и b - некоторые коэффициенты. Чтобы найти оптимальную цену или объем производства, нужно решить это уравнение.

Химические реакции

Скорость химических реакций также часто описывается дробно-рациональными формулами. Рассмотрим кинетику мономолекулярной реакции:

V = \dfrac{k[A]}{1 + k't}

Здесь V - скорость реакции, [A] - концентрация вещества A, k и k' - константы. Для нахождения параметров реакции приходится решать такие уравнения.

Области применения безграничны

Как видно из приведенных примеров, дробно-рациональные уравнения встречаются в задачах из самых разных областей науки и техники. Поэтому владение методами их решения - это универсальный полезный навык, который может пригодиться в самых неожиданных ситуациях!

Решение нестандартных задач

Помимо типовых примеров, встречаются и более сложные, нестандартные задачи на дробно-рациональные уравнения. Рассмотрим подходы к их решению.

Уравнения с модулем

Иногда в дробно-рациональных уравнениях присутствует модуль переменной. Например:

\dfrac{|x+1|}{x} + \dfrac{3}{x-1} = 2

В таких случаях нужно рассмотреть два случая: 1) k > 0; 2) k < 0. И для каждого случая отдельно решить полученное уравнение обычным способом.

Уравнения с параметром

Еще один распространенный вариант - дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр. Например:

\dfrac{x+3}{2x-4} = \dfrac{x+p}{x-2}

Здесь в ходе решения сначала нужно найти область определения параметра p, при котором уравнение имеет смысл и решение.

Иррациональные уравнения

Иногда под видом дробно-рационального "маскируется" иррациональное уравнение. Рассмотрим пример:

\dfrac{x^2+2}{x+1} = 3

Путем преобразований его можно свести к виду: x^2 - 3x + 2 = 0. А затем уже решать как квадратное уравнение.

Творческий подход

Как видно на этих примерах, для решения нестандартных дробно-рациональных уравнений требуется изрядная доля креатива и умения комбинировать разные математические приемы. Но опыт приходит с практикой!

Работа с рациональными неравенствами

Помимо уравнений, активно применяются рациональные неравенства, содержащие дробные выражения. Рассмотрим особенности их решения.

Приведение к виду уравнения

Один из подходов при работе с дробно-рациональным неравенством - привести его к виду равенства. Например, если дано:

\dfrac{2x+1}{3x-5} < 2

То заменяем знак на равенство и решаем полученное уравнение:

\dfrac{2x+1}{3x-5} = 2

А затем анализируем решение с точки зрения исходного неравенства.

Метод интервалов

Еще один эффективный подход - использование метода интервалов. Суть в построении числовой прямой и последовательной проверке значений функции на заданных интервалах.

Этот графический метод хорошо подходит для неравенств, особенно с модулями или параметрами.

Системы уравнений и неравенств

Зачастую приходится иметь дело сразу с системой, содержащей как уравнения, так и неравенства в дробно-рациональном виде. В таких случаях применяется комбинация рассмотренных ранее методов.

Главное помнить, что сначала нужно найти решение каждого уравнения/неравенства по отдельности. А затем полученные множества решений пересечь между собой, найдя общую область определения.