Понятие равносильных уравнений и их преобразование

Равносильные уравнения - это уравнения, которые имеют одни и те же корни. Давайте разберемся, что это значит на практике и как такие уравнения можно использовать для упрощения решения задач.

Определение равносильных уравнений

Уравнения называются равносильными, если выполняются два условия:

• Любое решение первого уравнения является решением второго уравнения
• Любое решение второго уравнения является решением первого уравнения

То есть уравнения имеют одни и те же корни. Например:

1. 2x + 1 = 5
2. x + 3 = 4

Эти уравнения равносильны, потому что имеют один и тот же корень x = 2.

А вот уравнения:

1. x² = 4
2. x = 2

не являются равносильными. Хотя x = 2 является решением обоих уравнений, но уравнение x² = 4 имеет еще один корень x = -2.

Преобразование уравнений

Равносильные уравнения часто используются при решении задач для упрощения исходных уравнений. Рассмотрим основные виды преобразований.

Перенос слагаемого из одной части в другую

Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится равносильное уравнение. Например:

Умножение (деление) на число

Если уравнение умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится равносильное уравнение. Например:

При решении уравнений очень важно не потерять ни одного корня. Поэтому преобразования должны быть строго равносильными.

Равносильные уравнения и неравенства

Понятие равносильности применимо и к неравенствами. Равносильными неравенствами называются такие неравенства, которые имеют одно и то же множество решений.

Например, неравенства:

1. 2x > 4
2. x > 2

являются равносильными, так как имеют одно решение x > 2.

А вот неравенства:

1. 2x > 4
2. x ≥ 2

не являются равносильными. Хотя x = 2 является решением обоих неравенств, но второе неравенство допускает и другие решения, например x = 3.

Преобразование систем уравнений

Понятие равносильности применимо не только к отдельным уравнениям, но и к системам уравнений.

Равносильными системами уравнений называются такие системы, у которых совпадают множества решений. То есть если подставить решение одной системы в другую, то оно также будет решением.

Преобразование одного уравнения системы

Если в системе уравнений одно из уравнений заменить на равносильное, то получится равносильная система уравнений. Например:

Здесь второе уравнение заменено на равносильное x + y = 3 => x - 2 = y

Умножение уравнений системы на число

Если все уравнения системы умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится равносильная система уравнений. Например:

Здесь оба уравнения умножены на 2.

Решение равносильных уравнений

При решении уравнений методом равносильных преобразований важно правильно применять теоремы равносильности, чтобы не потерять ни одного корня.

Этапы решения

Решение уравнения методом равносильных преобразований состоит из 3 этапов:

1. Технический этап - преобразование уравнения
2. Анализ решения на равносильность
3. Проверка решений подстановкой в исходное уравнение

Рекомендации

• Следить, чтобы на каждом шаге сохранялась равносильность
• Проверять найденные решения подстановкой в исходное уравнение
• Избегать деления обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестную

Применение при решении задач

Знание свойств равносильных уравнений позволяет эффективно решать многие задачи, в которых требуется составить и решить уравнение.

Задачи на движение

Рассмотрим классическую задачу на движение двух тел навстречу друг другу:

Из пунктов A и B, расстояние между которыми 250 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого 60 км/ч, второго 40 км/ч. Через какое время они встретятся?

Для решения составим уравнение. Пусть t - время встречи в часах.

Равенство расстояний:

• Первый автомобиль проедет за время t расстояние 60t км
• Второй автомобиль проедет за время t расстояние 40t км
• Начальное расстояние между ним 250 км

Получаем уравнение:

60t + 40t = 250

Преобразуем его к виду:

100t = 250

Окончательный ответ: время встречи 2,5 часа.

Задачи с процентами

В задачах на проценты требуется найти неизвестную величину по известным данным. Например:

Стоимость товара была повышена на 15% и составила 3465 рублей. Какая была первоначальная цена товара?

Обозначим x - первоначальную цену. Составим уравнение:

Новая цена = первоначальная цена + 15% от первоначальной цены

Подставляя числовые значения:

3465 = x + 0,15x

Решаем полученное уравнение:

x = 3000 рублей

Таким образом, первоначальная цена товара составляла 3000 рублей.

Задачи на совместную работу

Рассмотрим классическую задачу на совместную работу:

Трубу длиной 12 метров можно перекопать за 6 часов при работе одного человека. За какое время ее перекопают 3 человека, работая вместе?

Обозначим:

• t - время при совместной работе 3 человек
• L - длина трубы, L = 12 м

Составляем уравнение:

(Производительность 3 человек) * t = L

Производительность одного человека - 12 м / 6 часов = 2 м/час

Производительность 3 человек - 3 * 2 = 6 м/час

Подставляем в уравнение:

6 * t = 12

Ответ: вместе они перекопают трубу за 2 часа.

Задачи на движение по реке

Лодка проходит по течению реки 48 км за 6 часов, а против течения — 24 км за 4 часа. Найдите скорость лодки в неподвижной воде и скорость течения.

Воспользуемся свойствами движения по реке и составим систему из двух уравнений:

{ Вл + Вт = 48/6 Вл - Вт = 24/4 }

Где:

• Вл - скорость лодки
• Вт - скорость течения

Решая систему, находим: Вл = 8 км/ч, Вт = 2 км/ч.