Формула Муавра: извлечение корня из комплексного числа

Комплексные числа играют важную роль в математике и ее приложениях. Формула Муавра является важным инструментом для работы с комплексными числами, позволяя эффективно выполнять операции возведения в степень и извлечения корней.

Понятие комплексного числа

Комплексное число - это выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа, а i - мнимая единица, удовлетворяющая уравнению i² = -1. Число a называется действительной частью комплексного числа, b - мнимой частью.

Комплексные числа удобно представлять в различных формах записи:

• Алгебраическая форма: a + bi
• Тригонометрическая форма: r(cosφ + i·sinφ)
• Показательная форма: re^iφ

На комплексной плоскости комплексное число геометрически интерпретируется как точка с координатами (a, b).

С комплексными числами можно выполнять стандартные арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления, используя специальные правила для мнимой единицы i.

Формула Муавра

Формула Муавра впервые была опубликована в 1707 году швейцарским математиком Абраамом де Муавром. В современном виде ее записал Леонард Эйлер в 1748 году.

Если z = r(cosφ + i·sinφ), то zⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i·sin(nφ))

Иными словами, при возведении комплексного числа в степень n его модуль возводится в степень n, а аргумент умножается на n. Из формулы Муавра можно получить формулы Эйлера для выражения функций cos(nφ) и sin(nφ) через степени cosφ и sinφ.

Например, используя формулу Муавра, можно вычислить:

• (1 + 2i)³ = -8i
• (2 - 3i)⁵ = 3125 - 3125·5i

Возведение в степень

Чтобы возвести комплексное число в степень n, можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Представить число в тригонометрической форме: z = r(cosφ + i·sinφ)
2. Возвести модуль r в степень n
3. Умножить аргумент φ на показатель степени n
4. Записать результат в тригонометрической форме с использованием формулы Муавра

Отдельно стоит рассмотреть случай возведения в степень чисто мнимых чисел вида bi. Здесь также применима формула Муавра, нужно только помнить, что i² = -1.

Например:

• (3i)⁴ = 81
• (2i)⁵ = 32i

Рекомендуется запомнить возведение в степень i, -1 и основных мнимых чисел.

Извлечение корня

Формула Муавра позволяет также эффективно вычислять корни n-й степени из комплексного числа. Пусть задано число z и требуется найти его корень степени n. Тогда по формуле Муавра получаем:

z^1/n = (r^1/n)(cos(φ/n) + i·sin(φ/n))

Где r и φ - модуль и аргумент числа z соответственно. Таким образом, при извлечении корня n-й степени, модуль берется под корнем n-й степени, а аргумент делится на n.

Например, найдем квадратный корень из числа -8+6i:

1. r = 10, φ = 150°
2. √r = √10 = 2
3. φ/2 = 75°
4. Ответ: 2(cos75° + i·sin75°) = 2+2i

При решении задач рекомендуется предварительно записать число в тригонометрической форме, это упростит дальнейшие вычисления с использованием формулы Муавра.

Приложения формулы Муавра

Формула Муавра находит широкое применение не только для аналитических преобразований комплексных выражений. С ее помощью можно:

• Выражать тригонометрические функции через степени
• Решать различные алгебраические и дифференциальные уравнения
• Решать задачи электротехники, связанные с цепями переменного тока
в физике

Например, при решении задач на гармонические колебания часто используют представление величин в комплексной форме. Это позволяет упростить математические преобразования за счет использования таких свойств комплексных чисел, как поворот вектора при умножении на мнимую единицу. Благодаря формуле Муавра можно легко и эффективно находить решения дифференциальных уравнений, описывающих гармонические колебания.

Интегральная формула Муавра-Лапласа

Помимо всего прочего, на основе формулы Муавра был выведен важный интегральный закон - интегральная формула Муавра-Лапласа. Эта формула позволяет вычислять интегралы от функций комплексного переменного по кривым на комплексной плоскости и широко используется в теории функций комплексного переменного.

Локальная формула Муавра-Лапласа

Наряду с интегральной формулой существует и локальная формула Муавра-Лапласа. Она является обобщением интегральной формулы на случай криволинейных контуров и позволяет вычислить интегралы от аналитических функций по произвольным контурам на комплексной плоскости.

Локальная формула Муавра-Лапласа может использоваться, например, при решении краевых задач для аналитических функций и нахождении вычетов этих функций в особых точках.

Локальная формула Муавра-Лапласа находит применение при решении различных краевых задач. Рассмотрим некоторые примеры.

Применение в задачах Дирихле и Неймана

Пусть в области D с границей Γ задана краевая задача Дирихле для аналитической функции u(z):

• Δu = 0 в D
• u|Γ = f(z)

Используя локальную формулу Муавра-Лапласа, решение этой задачи можно представить в виде интеграла:

u(z) = (1/2πi) ∫_Γ f(ξ)/(ξ - z)dξ

Аналогично решается краевая задача Неймана для аналитических функций с граничным условием заданной нормальной производной на контуре.

Вычисление вычетов с помощью локальной формулы

Еще одно важное применение локальной формулы Муавра-Лапласа - это вычисление вычетов аналитических функций в изолированных особых точках. Пусть функция f(z) имеет изолированную особую точку z = z0. Тогда вычет функции f(z) в точке z0 можно вычислить по формуле:

res_z=z0 f(z) = (1/2πi) ∫_Г f(ξ)/(ξ - z0)dξ

Где Г - замкнутый контур, охватывающий точку z0.

Применение для вычисления определенных интегралов

Локальная формула Муавра-Лапласа также может быть использована для вычисления некоторых классов определенных интегралов от действительных функций. Это достигается WITH помощью перехода к комплексному представлению исходной функции и интегрирования по подходящим контурам на комплексной плоскости.