Описанный вокруг четырехугольника круг: свойства и особенности

Четырехугольники с вписанными окружностями, или описанные четырехугольники, обладают удивительными свойствами. Давайте рассмотрим их подробнее, чтобы лучше понять геометрическую красоту этих фигур.

Определение и виды описанных четырехугольников

Описанный четырехугольник - это четырехугольник, в который можно вписать окружность, касающуюся всех его сторон. Формальное определение:

Окружностью, вписанной в четырехугольник ABCD, называют окружность, которая касается каждой из сторон четырехугольника. В этом случае четырехугольник называют описанным около окружности.

Примерами описанных четырехугольников являются:

• Дельтоиды
• Ромбы
• Квадраты (частный случай ромба)

Интересно, что дельтоиды - это как раз те описанные четырехугольники, которые одновременно являются ортодиагональными, то есть их диагонали взаимно перпендикулярны.

Описанные четырехугольники тесно связаны с вписанными четырехугольниками. Это такие выпуклые четырехугольники, в которые можно вписать окружность, касающуюся всех их сторон.

Примером неописанного четырехугольника может служить обычный прямоугольник, не являющийся квадратом. В него нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех сторон.

Помимо четырехугольников, понятие описанного многоугольника применимо и к фигурам с большим числом сторон. К таким относятся, например:

• Правильные треугольники
• Правильные шестиугольники
• Правильные восьмиугольники

Необходимые и достаточные условия

Какие условия нужно выполнить, чтобы произвольный выпуклый четырехугольник ABCD можно было в него вписать окружность?

Ответ дает следующая теорема:

Теорема. Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Это необходимое и достаточное условие описываемости. Приведем краткое доказательство для наглядности:

Здесь видно, что в описанном четырехугольнике ABCD выполняются равенства:

• AE + CD = AF + BC
• AB + DC = AH + CB

Складывая эти равенства, получаем требуемое условие:

AB + BC = AD + DC

Обратно, если это условие выполнено, можно доказать, что четырехугольник описан около окружности с центром в точке пересечения биссектрис.

Таким образом, данная теорема дает простой критерий проверки описываемости четырехугольника и построения вписанной окружности.

Важнейшие свойства

Описанные четырехугольники обладают множеством интересных свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Во-первых, справедлива теорема Птолемея:

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Это одно из классических утверждений планиметрии. В случае описанного четырехугольника оно записывается так:

AC × BD = AB × CD + BC × AD

Другой важной формулой является выражение для площади описанного четырехугольника через его полупериметр p и радиус r вписанной окружности:

S = pr

Эта формула часто используется при решении задач на вычисление площадей.

Свойства, связанные с диагоналями и биссектрисами

В описанном четырехугольнике имеет место любопытное свойство: его диагонали и стороны подчиняются теореме Уркхарта:

Сумма квадратов одной пары противоположных сторон минус сумма квадратов другой пары противоположных сторон равна произведению диагоналей.

Это выражается формулой:

(AB² + CD²) - (AD² + BC²) = AC × BD

Кроме того, в описанном четырехугольнике биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности. Это свойство часто используется при решении конструктивных задач.

Десять удивительных фактов

В заключение приведем десять самых неожиданных и интересных фактов об описанных четырехугольниках:

1. В описанном четырехугольнике отрезки от вершин до точек касания образуют вписанный четырехугольник
2. Стороны вписанного и описанного четырехугольников перпендикулярны
3. Описанный ромб - это квадрат
4. Площадь равна радиусу, умноженному на полупериметр
5. Диагонали и медианы взаимно перпендикулярны у дельтоидов
6. Диагонали и хорды четырехугольника пересекаются в одной точке
7. Стороны четырехугольника подчиняются теореме Пифагора
8. Биссектрисы пересекаются в центре окружности
9. Суммы квадратов сторон связаны с произведением диагоналей
10. Центры вписанных окружностей четырех треугольников лежат на одной окружности

Задачи на применение свойств

Рассмотрим несколько примеров задач ЕГЭ, в которых используются свойства описанных четырехугольников.

Задача 1. Дан описанный четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника, если AC = 5, BD = 4.

Решение. По теореме Птолемея:

AC × BD = AB × CD + BC × AD

20 = AB × CD + BC × AD

Площадь описанного четырехугольника равна произведению радиуса r на полупериметр p. Приравниваем эти два выражения для площади и находим радиус:

Ответ: 2.

Построение описанного четырехугольника

Для построения описанного четырехугольника по заданным сторонам можно использовать такой алгоритм:

1. Провести одну сторону произвольной длины
2. Из концов этой стороны, с помощью циркуля и линейки, провести дуги заданной длины (равные длинам остальных трех сторон)
3. Соединить концевые точки этих дуг

Получившийся четырехугольник будет описанным, а центр окружности находится в точке пересечения его биссектрис.